Enunciado

Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.

2 x 1 + x 2 + 3 x 3 = 0 x 1 + 5 x 3 = 0 x 2 + x 3 = 0

Passo 1

Desejamos encontrar uma base do espaço solução do sistema linear dado e encontrar a dimensão do mesmo. Para isso vamos escrever o nosso sistema sob a forma de matriz para facilitar a visualização, então,

2 1 3 1 0 5 0 1 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Manipulando um pouco as equações fazendo as seguintes operações

L 2 - L 1 2 → L 2   e   t r o c a n d o   L 2   c o m   L 3

2 1 3 0 1 1 0 - 1 2 7 2 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Fazendo

L 3 + L 2 2 → L 3 ,     L 3 4 → L 3

Obteremos assim

2 1 3 0 1 1 0 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Agora, teremos

L 2 - L 3 → L 2 ,     L 1 - 3 L 3 → L 1

Vamos encontrar então

2 1 0 0 1 0 0 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Por fim, podemos fazer

L 1 - L 2 → L 1 ,     L 1 2 → L 1

→   1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0 → x 1 = x 2 = x 3 = 0

Logo o espaço solução apresenta dimensão 0 e, então, não teremos uma base.

Resposta

D i m e n s ã o   : 0  

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