Enunciado

Encontre a equação da elipse com focos em ( 0 ,   0 ) e ( 0 ,   10 ) , e semi eixo maior 5 5 .

Passo 1

Vamos aos poucos. Já que temos os focos podemos encontrar logo a distância focal:

2 c = d F 1 , F 2

2 c = 0 - 0 2 + 10 - 0 2

2 c = 10

Portanto,

c = 5

Vamos aproveitar pra encontrar o centro da elipse, sabendo que ele fica bem no ponto médio do segmento que liga o foco:

C = F 1 + F 2 2 = 0 ,   0 + 0 ,   1 0 2

C = ( 0 ,   5 )

Passo 2

Beleza, temos o semi eixo maior também, né? Isso nos dá o valor de a .

a = 5 5

Agora pela relação fundamental a gente consegue encontrar o tamanho do semi eixo menor!

a 2 = b 2 + c 2

5 5 2 = b 2 + 5 2

25 + b 2 = 125

Portanto,

b = 10

Passo 3

Então show, já temos tudo! É só juntar tudão agora. Substituindo na equação da elipse:

x - 0 2 ( 5 5 ) 2 + y - 5 2 10 2 = 1

x 2 125 + y - 5 2 100 = 1

Resposta

x 2 125 + y - 5 2 100 = 1

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