Enunciado

Obtenha equações das retas tangentes à hipérbole H :   - 4 x 2 + 2 y 2 = 3 que são paralelas à reta de equação 6 x - 3 y = 0 .

Passo 1

Desejamos encontrar as retas tangentes à hipérbole dada sem nos esquecermos que essas retas devem ser paralelas à reta dada pela equação

6 ⋅ x - 3 y = 0 → y = 6 3 ⋅ x

Lembrando que retas paralelas apresentam um mesmo coeficiente angular, mas com diferentes coeficientes lineares vamos ter que nossas retas tangentes terão a seguinte cara

y = 6 3 ⋅ x + k   i

Agora, vamos substituir i na equação da hipérbole e obteremos uma expressão dependente de k , forçaremos então ∆ = 0 para encontrarmos os valores de k que definem as retas tangentes. Sendo assim, teremos

- 4 x 2 + 2 y 2 = 3 → - 4 x 2 + 2 6 3 ⋅ x + k   2 = 3

- 4 x 2 + 2 ⋅ 6 9 ⋅ x 2 + 2 6 3 ⋅ k ⋅ x + k 2 = 3  

- 8 3 ⋅ x 2 + 4 6 3 ⋅ k ⋅ x + 2 k 2 - 3 = 0

Calculando nosso ∆   teremos

∆   = b 2 - 4 a c → ∆   = 32 3 + 4 ⋅ 8 3 ⋅ 2 k 2 - 3

Forçando ∆ = 0 teremos

32 3 + 4 ⋅ 8 3 ⋅ 2 k 2 - 3 = 0 → - 64 3 + 64 k 2 3 = 0 → k = ± 1

Portanto, nossas equações de retas tangentes serão

y = 6 3 ⋅ x ± 1

Resposta

y = 6 3 ⋅ x ± 1

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