Enunciado

Encontre uma matriz 3 × 3 cujo espaço nulo seja

(a) um ponto. (b) uma reta. (c) um plano.

Passo 1

E aí, tudo bem? Vamos resolver esse problema?

Antes de mais nada precisamos lembrar que o espaço nulo de uma matriz é o espaço solução do sistema linear homogêneo A x = 0 , beleza?

(a) Queremos achar um espaço solução do sistema linear homogêneo A x = 0   que seja um ponto. Tomando a matriz

A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

O espaço nulo (espaço solução) da matriz é o ponto (0,0,0). Show de bola?

Passo 2

(b) Neste item, estamos tentando determinar uma matriz cuja solução para a equação A x = 0 é uma reta. Pra resolver essa questão vou te dar uma dica de ouro!!!

Segura ela aí:

Como queremos que a solução seja uma reta, a forma escalonada reduzida de   A tem uma coluna sem um líder! Beleza?!

Assim, podemos tomar como exemplo a matriz

A = 1 0 - 1 0 1 - 1 0 0       1

Assim, o espaço nulo da matriz A é o intervalo   1 1 1   , que é uma reta em R 3 . Show de bola?

Passo 3

(c) Pra terminar, agora queremos mostrar uma matriz cuja solução para a equação A x = 0 é um plano. Vamos então usar o mesmo raciocínio da letra b. Como queremos que a solução seja um plano, a forma escalonada reduzida de A tem duas colunas sem um líder!

Assim, podemos então tomar como exemplo a matriz

A = 1 1 - 1 0 0       0 0 0       0

Daí, o espaço nulo da matriz A é o intervalo   - 1       1       0 , 1 0 1     , que é um plano em R 3 .

Shooow de bola?!

Resposta

(a) A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

(b) A = 1 0 - 1 0 1 - 1 0 0       1

(c) A = 1 1 - 1 0 0       0 0 0       0

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Prove que os vetores linha de uma matriz invertível A de tamanho n × n formam uma base de R n .
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A - 3 6 2 5 - 4 0 2 13 8 - 1 3 - 1 2 5
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A 2 3 - 1 4 1 2
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A 4 0 - 1 3 6 2 0 - 1 4 - 2 3 5
Em cada parte, expresse o produto A x → como uma combinação linear dos vetores coluna de A 2 1 5 6 3 - 8 - 3 0 - 5