Enunciado

Prove que os vetores linha de uma matriz invertível A de tamanho n × n formam uma base de R n .

Passo 1

Fala aê!! Blz? Nesta questão vamos provar que os vetores linha de uma matriz invertível A de tamanho n × n formam uma base de R n . Para isso, precisamos saber que:

Teorema 1:

“Se A e B são matrizes equivalentes de linha, (a) um determinado conjunto de vetores de coluna de A é linearmente independente se e somente se os vetores de coluna correspondentes de B forem linearmente independentes. (b) Um determinado conjunto de vetores de coluna de A forma uma base para o espaço de coluna de A se e somente se os vetores de coluna correspondentes de B formam uma base para o espaço de coluna de B .”

Então, considerando A uma matriz invertível n × n . Como A T também é invertível, é equivalente a I n . Logo, os vetores de coluna de I n são linearmente independentes. Portanto, em virtude do teorema citado, os vetores de coluna de A T , que são apenas os vetores de linha de A , também são linearmente independentes. Desta maneira, as linhas de A formam um conjunto de   n vetores linearmente independentes em R n e, consequentemente, formam a base para R n .

Resposta

Considerando A uma matriz invertível n × n . Como A T também é invertível, é equivalente a I n . É claro que os vetores de coluna de I n são linearmente independentes. portanto, em virtude do Teorema 1 , os vetores de coluna de A T , que são apenas os vetores de linha de A , também são linearmente independentes. Portanto, as linhas de A formam um conjunto de   n vetores linearmente independentes em R n e, consequentemente, formam a base para R n .

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