Lista de Exercícios Resolvidos de Espaços Gerados

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Seja o plano Π ⊂ R 3 , tal que sua equação paramétrica é:

1,0 , 0 + t - 1,1 , 0 + s - 1,0 , 1 ,   ∀ t , s ∈ R

Decida se é Verdadeiro ou Falso e justifique:

  • A reta gerada pelo vetor 1 , 1,1 intersecta Π
  • 0,0 , 0 ∈ Π
  • 2 , - 2,1 ∈ Π
  • Se v ∈ Π , então λ ∙ v ∈ Π para todo λ ∈ R

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a   Se o espaço gerado por u é igual ao espaço gerado por v , então necessariamente _________ ( u = v ,   u é múltiplo de v ,   u é perpendicular a v , nenhuma das alternativas)

b   Se s p a n u , v = s p a n u , w   u , v = u , w , então necessariamente _____ ( v = w ,   v é múltiplo de w , v é perpendicular a w , nenhuma das alternativas)

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Considere o plano Π = 1,1 , 2,0 + t - 1,2 , - 1,2 + s 1,1 , 1,1 ⊂ R 4 . Determine:

a   Quatro pontos distintos de Π

b   Se 2,5 , 3,4 ∈ Π

c   Se 1,1 , 3,3 ∈ Π

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Determine se:

a   1,2 , 3,5 ∈ s p a n 1,2 , 3,4

b   - 1,0 , 0 ∈ 2,1 , 1 , 3,1 , 1

c   - 1,0 , 2 ∈ 2,1 , 1 , 3,1 , 1

d   R 3 =   s p a n 0,1 , 0 , 1,0 , 1 , 0,0 , 1

e   s p a n 2,1 , 2   = 2 , - 1,2

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Determine se é ponto, reta ou plano.

  1. 1,2 , 0,0 , 2,4 , 0,0 + 2,1 , 2,2
  2. 1,2 , 0,0 , 0,1 , 0,0 + 0,0 , 0,0
  3. 1,1 , 1,1 + 0,0 , 0,0
  4. 0,0 , 0,0 + ( 1,1 , 1,1 )

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Determine um espaço de geradores do R 2 para U , dado:

U = { ( x ,   y ,   z ,   t ) ∈ R 4 | x - y + z + t = 0   e - x + 3 y + z - 2 t = 0 }

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Prove que o conjunto S = { 1 ,   0 ,   1 ,   1 } gera o espaço vetorial R 2 .

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Prove que o conjunto S = { 1 ,   2 } gera U = { ( x ,   y ) ∈ R 2 | y = 2 x } .

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

  1. Se p x ∈ g e r { 1 + x 2 , 1 + x + x 2 } é um polinômio não nulo, então p ( x ) te grau 2.

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

b) Se S = { 1 + x 2 , 1 + x + x 2 } e S ' = { x , x 2 } , então g e r   S = g e r   S ' .

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Sejam u → ,   v →   ∈ R n e G   =   u → ,   v → , o conjunto gerado por   u →   e v → . Seja g → um elemento de G . Considere as afirmativas:

I -   k g →   ∈   G para todo k ∈ R

II - Se w →   =   ( 1 ,   0 ,   ·   ·   ·   ,   0 )   +   g → então necessariamente w → ∈ G

(a) Ambas são falsas

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) I é verdadeira e II é falsa

(d) Ambas são verdadeiras

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