Enunciado

Encontre uma matriz elementar E que satisfaça a equação.

  1. E B = D
  2. E D = B
  3. E B = F
  4. E F = B

Passo 1

Show de bola então galerinha, aqui a gente só precisa encontrar a matriz E dada a relação do enunciado, sabendo que E é uma matriz elementar, isto é, com apenas uma operação elementar conseguimos transformar essa matriz na matriz identidade.

Passo 2

Na letra (a) temos que E B = D

B = 8 1 5 2 - 7 - 1 3 4 1   e   D = 8 1 5 - 6 21 3 3 4 1

E olhando um pouquinho mais a fundo na nossa matriz a gente pode perceber que multiplicando a segunda linha de B por - 3 vamos obter D

B = 8 1 5 2 - 7 - 1 3 4 1   ⇒ L 2 = - 3 L 2 = 8 1 5 - 6 21 3 3 4 1 = D

Ou seja, a operação elementar que E realiza é uma multiplicação da linha 2 por - 3

E = 1 0 0 0 - 3 0 0 0 1

Passo 3

Agora na letra (b) temos que E D = B

B = 8 1 5 2 - 7 - 1 3 4 1   e   D = 8 1 5 - 6 21 3 3 4 1

Na letra (a), tínhamos que E B = D , e agora no item (b) temos que E D = B que é exatamente o contrário, ou seja, se a operação de E era uma multiplicação da linha 2 por - 3 , agora pra voltarmos pro mesmo lugar, é só a gente dividir a linha2 por - 3 . Logo

E = 1 0 0 0 - 1 3 0 0 0 1

Passo 4

No item (c) temos que E B = F

B = 8 1 5 2 - 7 - 1 3 4 1   e   F = 8 1 5 8 1 1 3 4 1

E olhando um pouquinho pra matriz B , a gente repara que somando 2 vezes a linha 3 na linha 2, a gente consegue chegar na matriz F

B = 8 1 5 2 - 7 - 1 3 4 1   ⇒ L 2 = L 2 + 2 L 3 = 8 1 5 8 1 1 3 4 1 = F  

Então a operação que E realiza é

E = 1 0 0 0 1 2 0 0 1

Passo 5

Agora no item (d) temos E F = B , que é o contrário do nosso item anterior, logo a operação que E faz é o contrário do item (c), isto é, se eu somava antes a linha 3 a linha 2, agora eu vou subtrair ela de volta

E = 1 0 0 0 1 - 2 0 0 1

Resposta

  1. E = 1 0 0 0 - 3 0 0 0 1
  2. E = 1 0 0 0 - 1 3 0 0 0 1
  3. E = 1 0 0 0 1 2 0 0 1
  4. E = 1 0 0 0 1 - 2 0 0 1
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