Enunciado

Em cada parte, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade

  1. 1 0 - 3 1
  2. 1 0 0 0 1 0 0 0 3
  3. 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
  4. 1 0 - 1 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Passo 1

Então galerinha, nesse caso aqui a gente tá afim de encontrar a operação elementar que faz com que nossa matriz se torne a identidade ok?! E quem que é essas operações elementares?! São:

  • Multiplicar uma linha inteira por um constante não nula.
  • Trocar duas linhas entre si.
  • Somar uma linha a outra linha quantas vezes necessárias.

Iradoso, mas é só isso que nois precisa encontrar?! NÃOOO!! A gente também quer encontrar a matriz A que realiza a operação do tipo:

X A = I

Ou seja, nossa matriz A é a matriz do exercício, e a matriz X é a matriz que leva A na identidade e é ela quem queremos encontrar. #Partiu

Passo 2

Nossa letra (a) tem a matriz:

1 0 - 3 1

Pra transformar essa matriz ai na matriz identidade, a gente precisa tirar aquele - 3 da primeira linha. Pra isso a gente pode somar a linha 2 com mais 3 vezes a linha 1 que fica tudo uma maravilha. Desse jeito:

1 0 - 3 1 ⇒ L 2 = L 2 + 3 L 1 ⇒   1 0 - 3 + 3 1 + 0 =   1 0 0 1

Logo nossa equação que faz a matriz A se tornar a identidade é:

L 2 = L 2 + 3 L 1

Agora pra encontrarmos nossa matriz X a gente só precisa montar seus elementos de acordo com a operação elementar que a gente fez:

X . A = I ⇒ a b c d . 1 0 - 3 1 =   1 0 0 1 ⇒ a - 3 b = 1 0 a + b = 0 c - 3 d = 0 0 c + d = 1 ⇒ a = 1 b = 0 c = 3 d = 1 ⇒ X = 1 0 3 1

E a gente pode fazer esse processo direto, apenas observando a equação ligada a operação, perceba que nossa equação soma a segunda linha com a primeira linha 3 vezes, e isso acontece apenas na primeira linha, logo nossa matriz X vai ter uma disposição tal que realize essa operação.

Passo 3

Nossa letra (b) traz a matriz:

1 0 0 0 1 0 0 0 3

Nessa aqui, a gente só precisa dividir a terceira linha por 3 que fica show de bola. Então nossa equação é:

L 3 = 1 3 L 3

Belezinha, como nossa operação é essa que acabamos de encontrar, a matriz X que satisfaz a igualdade X . A = I , é:

X =   1 0 0 0 1 0 0 0 1 3

Passo 4

Agora na nossa letra (c) a matriz que a gente tem é essa aqui:

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

E pra gente transformar ela na identidade, é só trocar a linha 4 com a linha 1

L 4 ⇔ L 1

Mas a gente sabe que quando nossa operação elementar é uma troca de linhas, a matriz que representa essa operação, é a mesma matriz original onde realizamos a troca, ou seja:

X =   0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

Passo 5

Agora chegamos na digníssima letra (d) e nossa matriz é:

1 0 - 1 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

E nessa aqui, a gente só precisa zerar aquele termo - 1 7 , e como ele tá na terceira coluna, a gente pode usar a terceira linha pra realizar essa operação

L 1 = L 1 + 1 7 L 3

Logo nossa matriz X será

1 0 1 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Show de bolinhas?!

Resposta

  1. L 2 = L 2 + 3 L 1 ,     X = 1 0 3 1
  2. L 3 = 1 3 L 3 ,     X =   1 0 0 0 1 0 0 0 1 3
  3. L 4 ⇔ L 1 ,   X =   0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
  4. L 1 = L 1 + 1 7 L 3 ,     X = 1 0 1 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
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