Enunciado

Sejam F :   R 2 → M ( 2 ,   2 ) uma transformação linear e α e β as bases canônicas de R 2 e M ( 2 ,   2 ) , respectivamente. Sabendo que

F α β = 1 2 0 1 3 - 1 - 2 2

determinar:

a) F ( 1 ,   0 ) .

b) F ( 0 ,   1 ) .

c) F ( 2 ,   3 ) .

d) F ( x ,   y ) .

e) ( a ,   b ) tal que

F a , b = 1 - 2 3 4

Passo 1

A questão fornece a matriz de transformação linear de um vetor em R 2 para uma matriz 2 × 2 . É pedido para calcularmos a transformação para diferentes vetores. Por simplicidade, farei primeiro o item (d) e usar essa resposta para resolver os demais.

Efetuando a multiplicação de matrizes:

1 2 0 1 3 - 1 - 2 2 ⋅ x y = x 2 x + y 3 x - 2 y - x + 2 y

Assim, escrevendo em notação de matriz:

F x , y = x 2 x + y 3 x - 2 y - x + 2 y

Passo 2

Portanto,

F 1 ,   0 = 1 2 3 - 1

F 0 ,   1 = 0 1 - 2 2

F 2 ,   3 = 2 7 0 4

Passo 3

Agora queremos achar ( a , b ) tal que

F a , b = 1 - 2 3 4

Assim,

a 2 a + b 3 a - 2 b - a + 2 b = 1 - 2 3 4

Da primeria equação, tiramos a = 1 . Logo, na segunda, temos que 2 + b = - 2 , de modo que b = - 4 . Todavia, com esse valores, temos que

3 a - 2 b = 3 + 8 = 11 ≠ 3

Portanto, esses sistema de quatro equações é impossível, de modo que não existe ( a , b ) .

Resposta

F 1 ,   0 = 1 2 3 - 1

F 0 ,   1 = 0 1 - 2 2

F 2 ,   3 = 2 7 0 4

F x , y = x 2 x + y 3 x - 2 y - x + 2 y

Não existe ( a ,   b ) .

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