Enunciado

Sejam as transformações lineares

T 1 :   R 2 → R 3 ,     T 1 x , y = ( x - y , 2 x + y , - 2 x )

T 2 :   R 2 → R 3 ,     T 2 x , y = ( 2 x - y , x - 3 y , y )

Determinar as seguintes transformações lineares de R 2 em R 3 :

a) T 1 - T 2 .

b) 3 T 1 - 2 T 2 .

Passo 1

A questão fornece duas transformações lineares T 1 e T 2 e pede para acharmos novas transformações que são combinações lineares delas.

No item (a), teremos

T 1 - T 2 x , y = T 1 x , y - T 2 ( x , y )

Logo,

T 1 - T 2 x , y = x - y , 2 x + y , - 2 x - ( 2 x - y , x - 3 y , y )

Portanto,

T 1 - T 2 x , y = ( - x , x + 4 y , - 2 x - y )

Passo 2

Já para o item (b), temos

3 T 1 - 2 T 2 x , y = 3 T 1 x , y - 2 T 2 ( x , y )

Logo,

3 T 1 - 2 T 2 x , y = 3 x - 3 y , 6 x + 3 y , - 6 x - ( 4 x - 2 y , 2 x - 6 y , 2 y )

Portanto,

3 T 1 - 2 T 2 x , y = ( - x - y , 4 x + 9 y , - 6 x - 2 y )

Resposta

T 1 - T 2 x , y = ( - x , x + 4 y , - 2 x - y )

3 T 1 - 2 T 2 x , y = ( - x - y , 4 x + 9 y , - 6 x - 2 y )

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Seja T o operador linear dado pela matriz: 1 2 - 1 2 0 1 1 - 2 2 a) Calcular N ( T ) e dim ⁡ N ( T ) . b) Calcular I m ( T ) e dim ⁡ I m ( T ) .
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