Enunciado

Encontre a matriz de T em relação à base B e use o Teorema 8.5.2 para calcular a matriz de T em relação à base B ' .

T : R 2 → R 2 é definido por

T x 1 x 2 = x 1 + 7 x 2 3 x 1 - 4 x 2

e B = [ u 1 , u 2 ] e B ' = v 1 , v 2 , sendo

u 1 = 2 2 ,       u 2 = 4 - 1 ,       v 1 = 1 3 ,       v 2 = - 1 - 1

Passo 1

Vamos lembrar o Teorema 8.5.2:

Sejam T : V → V um operador linear do espaço vetorial V de dimensão finita e B e B ' bases de V . Então:

T B ' = P - 1 T B P

Sendo P = P B ' → B e P - 1 = P B → B '

Podemos reescrever T como:

T x 1 x 2 = x 1 + 7 x 2 3 x 1 - 4 x 2 = 1 7 3 - 4 x 1 x 2

Para obtermos T B , vamos encontrar T ( u → 1 ) e T ( u → 2 ) por meio de:

T u → 1 = 1 7 3 - 4 2 2 = 1 6 - 2

T u → 2 = 1 7 3 - 4 4 - 1 = - 3 16

Assim T B pode ser escrita como:

T B = T u → 1 B T u → 2 B = 1 6 - 3 - 2 16

Passo 2

Podemos escrever v → 1 e v → 2 em relação à base B como:

v → 1 = 13 10 u → 1 - 2 5 u → 2

v → 2 = - 1 2 u → 1

Assim, a matriz de transição P pode ser escrita como:

P =   13 10 - 1 2 - 2 5 0

A sua inversa, P - 1 é dada por:

P - 1 = 1 0 - - 1 2 ⋅ - 2 5 0 1 2 2 5 13 10 = 0 - 5 2 - 2 13 2

Passo 3

Agora, podemos calcular T B ' :

T B ' = 13 10 - 1 2 - 2 5 0 16 - 3 - 2 16 0 - 5 2 - 2 13 2

T B ' = 19 10 - 5 2 - 639 10 19 2

Resposta

T B ' = 19 10 - 5 2 - 639 10 19 2

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