Enunciado

20. Se A e B forem matrizes semelhantes, digamos, B = P - 1 A P , então segue do Exercício 19 que A e B têm os mesmos autovalores. Suponha que λ seja um desses autovalores comuns e x seja um autovetor de A associado. Veja se você consegue encontrar um autovetor de B associado a λ (expresso em termos de λ , x e P ).

Passo 1

Vamos escrevendo as coisas que nós temos pra ver o que conseguimos tirar:

Se λ é um autovalor de A , então também é auto valor de B .

Se x é um autovetor de A , então:

A x = λ x

λ I - A x = 0

E usando B (porque mesmo tendo autovalores iguais, os autovetores não são iguais):

B x ' = λ x '

λ I - B x ' = 0

Passo 2

Igualando as duas, ficamos com:

λ I - A x = λ I - B x '

Substituindo B = P - 1 A P :

λ I - A x = λ I - P - 1 A P x '

Fazendo I = P - 1 P :

λ I - A x = λ P - 1 P - P - 1 A P x '

λ I - A x = P - 1 λ I - A P x '

x ' = P - 1 λ I - A P - 1 λ I - A x

Resposta

x ' = P - 1 λ I - A P - 1 λ I - A x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam F :R 2 → M ( 2 ,2 ) uma transformação linear e α e β as bases canônicas de R 2 e M ( 2 ,2 ) , respectivamente. Sabendo que F α β = 1 2 0 1 3 - 1 - 2 2 determinar:a) F ( 1 ,0 ) .b) F ( 0 ,1 ) .c)
Sejam as transformações lineares T 1 :R 2 → R 3 , T 1 x , y = ( x - y , 2 x + y , - 2 x ) T 2 :R 2 → R 3 , T 2 x , y = ( 2 x - y , x - 3 y , y ) Determinar as seguintes transformações lineares de R 2
Seja a transformação linear: S :R 3 → R 4 , S x , y , z = ( x + y , z , x - y , y + z ) a) Calcular ( S ∘ T ) ( x , y ) seb) Determinar a matriz canônica de S ∘ T e mostrar que ela é o produto da matr
Seja o espaço vetorial V = M ( 2 ,2 ) e a transformação linear T : V → R 3 , T a b c d = ( a + b , c - d , 2 a ) a) Mostrar que T é linear.b) Determinar T B A sendo A e B as bases canônicas de M ( 2 ,
Nos Exercícios 1-7, encontre a matriz de T em relação à base B e use o Teorema 8.5.2 para calcular a matriz de T em relação à base B ' .6. T : R 2 → R 2 é definido por T x = 5 x e B e B ' são as bases