Enunciado

Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P .

A = 4 1 - i 1 + i 5

Passo 1

Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 4 1 - i 1 + i 5 = det ⁡ λ - 4 - 1 + i - 1 - i λ - 5

→ 4 - λ ⋅ λ - 5 - - 1 + i ⋅ - 1 - i = λ 2 - 9 λ + 18

As raízes dessa equação são dadas por λ 1 = 3   e   λ 2 = 6

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 4 - 1 + i - 1 - i λ - 5 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 3 vamos obter o seguinte sistema

- 1 - 1 + i - 1 - i - 2 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

T r o c a r   a   L 1   c o m   a   L 2 ,   L 2 - 1 2 - i 2 ⋅ L 1 → L 2

1 1 - i 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

→ x 1 + 1 - i ⋅ x 2 = 0 → x 1 = i - 1 ⋅ x 2

Logo, nosso auto vetor associado ao auto valor λ 1 = 3 será

- 1 + i 1

Passo 3

Agora, para λ 2 = 6 vamos proceder da mesma forma e obteremos

2 - 1 + i - 1 - i 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, nesse caso, as seguintes operações

T r o c a r   a   L 1   c o m   a   L 2 ,   L 2 - - 1 + i ⋅ L 1 → L 2

Então, obtemos

1 - 1 2 - i 2 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

→ x 1 + - 1 2 + i 2 ⋅ x 2 = 0 → x 1 = 1 2 - i 2 ⋅ x 2

Sendo assim, nosso auto vetor associado ao autovalor λ = 6 será

1 2 + i 2 1 = 1 - i 2

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 | - 1 | 2 + | i | 2 + | 1 | 2 ⋅ - 1 + i 1 = 1 3 ⋅ - 1 + i 1 = - 1 + i 3 1 3  

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 | - 1 | 2 + | i | 2 + | 2 | 2 ⋅ 1 - i 2 = 1 6 ⋅ 1 - i 2

v 2 = 1 - i 6 2 6

Portanto, A é diagonalizável pela matriz unitária

P = - 1 + i 3 1 3   1 - i 6 2 6

Ainda conseguimos encontrar a matriz P - 1 fazendo

P - 1 = 1 det ⁡ P ⋅ a d j   P = - 1 - i 3 1 3   1 + i 6 2 6

Passo 5

Finalmente, para concluirmos o nosso exercício vamos calcular P - 1 A P fazendo

P - 1 A P = - 1 - i 3 1 3   1 + i 6 2 6 ⋅ 4 1 - i 1 + i 5 ⋅ - 1 + i 3 1 3   1 - i 6 2 6

Lembrando que a multiplicação de matrizes se dá fazendo linha vezes coluna vamos obter o seguinte

P - 1 A P = - 3 - i 3   3 6 + i 6 2 6 ⋅ - 1 + i 3 1 3   1 - i 6 2 6

P - 1 A P = 3 0 0 6

Resposta

P = - 1 + i 3 1 3   1 - i 6 2 6 , P - 1 A P = 3 0 0 6

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