Enunciado

Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   M ( 2 ,   2 ) → R 2 ,     T a b c d = ( a - c ,   b + c )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

O primeiro passo é testar a primeira propriedade. Vamos tomar

u = a b c d             e             v = e f g h

T u + v = T a + e b + f c + g d + h = ( a + e - c - g ,   b + f + c + g )

Separando em duas partes:

T u + v = a - c ,   b + c + ( e - g ,   f + g )

Note que os termos da direita são exatamente T ( u ) e T ( v ) :

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a λ b λ c λ d = ( λ a - λ c ,   λ b + λ c )

Tirando o λ para fora:

T λ u = λ   ( a - c ,   b + c ) = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre um operador linear T :R 3 → R 3 cujo núcleo é gerado por ( 1 ,2 , - 1 ) e ( 1 , - 1 ,0 ) .
Seja a transformação linear T :R 2 → R 3 , T x , y = ( 2 x - y ,x + 3 y ,- 2 y ) e as bases A = { - 1 ,1 ,2 ,1 } e B = { 0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,- 1 ,1 ,1 ,0 } . Determinar T B A . Qual a matriz T C A , onde C
Seja T :R 4 → R 3 a transformação linear tal que T e 1 = ( 1 , - 2 ,1 ) , T e 2 = ( - 1 ,0 , - 1 ) , T e 3 = ( 0 , - 1,2 ) e T e 4 = ( 1 , - 3 ,1 ) , sendo { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } a base canônica do
Sabendo que a matriz de uma transformação linear T :R 2 → R 3 nas bases A = - 1 ,1 ,1 ,0 do R 2 e B = 1 ,1 ,- 1 ,2 ,1 ,0 ,3 ,0 ,1 do R 3 é: T B A = 3 1 2 5 1 - 1 Encontrar a expressão de T ( x , y ) e
A matriz de T :R 2 → R 2 relativa à base B = { v 1 , v 2 } , sendo v 1 = ( 1 ,1 ) e v 2 = ( 3 ,2 ) , é: 2 1 - 1 - 3 a) Determinar T v 1 B e T v 2 B .b) Determinar T ( v 1 ) e T ( v 2 ) .c) Calcular T