Enunciado

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:

c) A =   1 1 - 2 - 1 2 1 0 1 - 1

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão!!

Vamos escrever a matriz A - λ I n , de forma que:

A - λ I n = 1 -   λ 1 - 2 - 1 2 -   λ 1 0 1 - 1 -   λ

Passo 2

Agora, temos que calcular o determinante dessa nossa matriz:

det ⁡ 1 -   λ 1 - 2 - 1 2 -   λ 1 0 1 - 1 -   λ

det = 1 -   λ 2 -   λ - 1 -   λ + - 2 - 1 1 - 1 - 1 - 1 -   λ - ( 1 ) ( 1 ) ( 1 -   λ )

det = 2 λ 2 - λ 3 + λ - 2

Igualando o determinante a zero:

2 λ 2 - λ 3 + λ - 2 = 0

Reescrevendo:

- λ - 2 ( λ + 1 ) ( λ - 1 ) = 0

λ = - 1

λ = 1

λ = 2

Passo 3

Substituindo λ = - 1 na matriz A - λ I n :

2 1 - 2 - 1 3 1 0 1 0

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

2 1 - 2 0 - 1 3 1 0 0 1 0 0

Escalonando:

1 0 - 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 1 - x 3 = 0 x 2 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = a 0 a

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

a(1, 0, 1)

Substituindo λ = 1 na matriz A - λ I n :

0 1 - 2 - 1 1 1 0 1 - 2

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

0 1 - 2 0 - 1 1 1 0 0 1 - 2 0

Escalonando:

1 0 - 3 0 0 1 - 2 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 1 - x 3 = 0 x 2 - 2 x 3 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = 3 a 2 a a

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

a(3, 2, 1)

Substituindo λ = 2 na matriz A - λ I n :

- 1 1 - 2 - 1 0 1 0 1 - 3

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

- 1 1 - 2 0 - 1 0 1 0 0 1 - 3 0

Escalonando:

1 0 - 1 0 0 1 - 3 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 1 - x 3 = 0 x 2 - 3 x 3 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = a 3 a a

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

a(1, 3, 1)

Resposta

λ = - 1

V1 = (1, 0, 1)

λ = 1

V2 = (3, 2, 1)

λ = 2

V3 = (1, 3, 1)

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