Enunciado

Encontre vetores da base canônica de R 4 que podem ser acrescentados ao conjunto { v 1 , v 2 } para formar uma base de R 4 .

v 1 = 1 , - 4,2 , - 3 ,     v 2 = - 3,8 , - 4,6

Passo 1

Fala ai meu querido, primeiro vamos lembrar que para formar uma base no R 4 precisamos de 4 vetores, então temos que adicionar ao menos dois vetores nesse conjunto para formar uma base do R 4

Passo 2

Vamos lembrar como é dada a base canônica para R 4 :

e 1 = 1,0 , 0,0 ,     e 2 = 0,1 , 0,0 ,     e 3 = 0,0 , 1,0 ,     e 4 = 0,0 , 0,1

Vamos então criar o seguinte sistema linear de equações:

k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 e 1 + k 4 e 2 + k 5 e 3 + k 6 e 4 = 0

Dessa forma podemos escrever a seguinte matriz, garantindo que temos ao mínimo a base canônica fazendo parte da base de R 4 que queremos garantir:

1 - 3 1 0 0 0 - 4 8 0 1 0 0 2 - 4 0 0 1 0 - 3 6 0 0 0 1  

Podemos escalonar essa matriz e encontrar:

1 - 3 1 0 0 0 0 1 - 1 - 1 / 4 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 2 / 3  

Passo 3

Podemos eliminar as duas colunas finais desta matriz, obtendo a seguinte matriz 4 × 4 .

A 1 = 1 - 3 1 0 0 1 - 1 - 1 / 4 0 0 0 0 0 0 0 0  

Calculando o determinante dessa matriz, encontramos que det ⁡ A 1 = 0 , logo o sistema tem uma solução não trivial, e temos um conjunto de vetores linearmente dependentes. O que não resolve o nosso problema, então precisamos tentar outra matriz A .

Passo 4

Agora vou eliminar a terceira e a quarta coluna, que representavam para gente o vetor e 1 e e 2 . E ficaremos com a seguinte matriz:

A 2 = A = 1 - 3 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 / 3  

Dessa vez encontramos que det ⁡ A 2 = 4 3 , e agora temos um conjunto linearmente independente, então se adicionarmos os vetores e 3 e e 4 (que estão representados na matriz A 2 pelas colunas 3 e 4) ao nosso conjunto inicial, formaríamos uma base para R 4 .

{ v 1 ,   v 2 ,   e 3 ,   e 4 }

É uma das possíveis bases para a resolução do problema.

Passo 5

Na verdade, se analisássemos outras possibilidades, veríamos que qualquer par contendo os vetores e 2 ,   e 3 e e 4 também teríamos matrizes A linearmente independentes e por tanto bases para o R 4 .

Resposta

Algumas possibilidades:

{ v 1 ,   v 2 ,   e 2 ,   e 3 }

{ v 1 ,   v 2 ,   e 2 ,   e 4 }

{ v 1 ,   v 2 ,   e 3 ,   e 4 }

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