Enunciado

Seja S uma base de um espaço vetorial V de dimensão n . Mostre que se v 1 , v 2 , … , v r formarem um conjunto linearmente independente de vetores em V , então os vetores de coordenadas v 1 s ,   v 2 s , … ,   v r s formam um conjunto linearmente independente em R n e reprocamente.

Passo 1

Primeiramente vamos observar que se v e w são vetores em V e a e b são escalares, então

a v + b w s = a ⋅ v s + b ⋅ w s

Isto decorre da definição de vetores de coordenadas. Claramente, esse resultado se aplica a qualquer soma finita de vetores. Observe também que se

v s = 0 s → v = 0

Agora, supondo que

k 1 v 1 + … + k r v r = 0

Então

k 1 v 1 + … + k r v r s = k 1 ⋅ v 1 s + … + k r ⋅ v r s = 0 S

Por outro lado, se

k 1 ⋅ v 1 s + … + k r ⋅ v r s = 0 s

Então

k 1 v 1 + … + k r v r s = 0 s → k 1 v 1 + … + k r v r = 0

Portanto, os vetores v 1 , v 2 , … , v r são linearmente independentes em V se e somente se os vetores de coordenadas são linearmente independentes em R n como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove: qualquer subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita tem dimensão finita.
Sando a notação do Exercício 18, mostre que se os vetores v 1 → , … , v → r gerarem V , então os vetores de coordenadas v 1 → s , … , v → r s geram R n e reciprocamente.
Enuncie as duas partes do Teorema 4.5.2 em forma contrapositiva.
Em cada caso, enctontre uma base do subespaço de P 2 gerado pelos vetores dados: - 1 + x - 2 x 2 ,3 + 3 x + 6 x 2 , 9 1 + x ,x 2 , - 2 + 2 x 2 , - 3 x 1 + x - 3 x 2 , 2 + 2 x - 6 x 2 ,3 + 3 x - 9 x 2