Enunciado

Enuncie as duas partes do Teorema 4.5.2 em forma contrapositiva.

Passo 1

Primeiro, vamos ver o que diz o Teorema 4.5.2

“Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e v 1 → , … ,   v n → uma base qualquer de V .

  1. Um conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente
  2. Um conjunto com menos de n vetores não gera V .

Mas o que é a “forma contrapositiva”?

A forma contrapositiva de um Teorema é um jeito de reorganizar o texto de forma negativa. Não entendeu? Então olha esse exemplo:

“Se a e b são positivos, então a ⋅ b é positivo”

A forma contrapositiva vai ser:

“Se a ⋅ b não é positivo, então a ou b não é positivo”

Viu? Basta inverter a ordem das afirmações e coloca-las em negação

Passo 2

Vamos fazer isso com o Teorema 4.5.2

“Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e v 1 → , … ,   v n → uma base qualquer de V .

  1. Se um conjunto é linearmente independente, então este conjunto deve ter n vetores.
  2. Um conjunto gera V, se tiver pelo menos de n vetores .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determinar a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais de M(2,2):a) a b c d ; b = a + ced = c
Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema: x - 2 y - z = 0 2 x + y + 3 z = 0 x + 3 y + 4 z = 0
Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema: x + 2 y - z + 3 t = 0 2 x - y + z - t = 0 4 x + 3 y - z + 5 t = 0
Qual seria uma base “natural” para P n ? (Veja o Exemplo 4 de 4.2.2). Dê a dimensão deste espaço vetorial.
Mostre que 1 0 0 0 ,0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 E base de M ( 2,2 ) .