Enunciado

Encontrar uma base e uma dimensão do espaço-solução do sistema:

x + 2 y - z + 3 t = 0 2 x - y + z - t = 0 4 x + 3 y - z + 5 t = 0

Passo 1

Vamos isolar a variável y na segunda equação:

y = 2 x + z - t

Agora vamos isolar z na última...

z = 4 x + 3 y + 5 t

Juntando as duas, temos:

z = - 5 x - t

y = - 3 x - 2 t

Vamos substituir isso na primeira pra ver se satisfaz...

x - 6 x - 4 t + 5 x + t + 3 t = 0

0 = 0     ( o k )

Passo 2

Então, nosso subespaço pode ser escrito da forma

{ ( x , - 3 x - 2 t , - 5 x - t , t }  

Como são duas variáveis. A dimensão é 2.

Uma base pode ser:

B = 1 , - 3 , - 5,0 ,   ( 0 , - 2 , - 1,1 )

Obs: A base varia de acordo com a variável isolada, essa é só uma das possibilidades.

Resposta

D i m = 2

B = 1 , - 3 , - 5,0 ,   ( 0 , - 2 , - 1,1 )

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Se V 1 ,V 2eV 3 são vetores de um espaço vetorial Vew é o subespaço gerado por V 1 , V 2eV 3 , então a dimensão de w e igual a 3?
Mostre que se Vew são subespaços de dimensão 2 de um espaço vetorial de dimensão 3, então V ∩ w ≠ 0 - O mesmo seria verdade se estes fossem subespaços de um espaço vetorial de dimensão 4?
Em C 0 [ - π , π ] , encontre a dimensão do subespaço gerado por 1 , cos ⁡ 2 t , cos 2 ⁡ t .
Para a ∈ V fixado, determine a dimensão do subespaço de p n definido por: w = p ∈ p n p a = 0 .
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Mostre que se w 1 e um subespaço de V , então existe um subespaço w 2 tal que V = w 1 ⊕ w 2 .