Enunciado

Prove que se A for uma matriz diagonalizável, então A k é diagonalizável, qualquer que seja o inteiro positivo k

Passo 1

Seja uma matriz A de dimensão n × n diagonalizável, isso quer dizer que existe uma matriz D tal que:

D = P - 1 A P

Vamos multiplicar os dois lados por D :

D ⋅ D = P - 1 A P ⋅ D

D 2 = P - 1 A P ⋅ D

Como D = P - 1 A P , então vamos aplicar isso no lado direito:

D 2 = P - 1 A P P - 1 A P

Vamos multiplicar os conteúdos dos parênteses

D 2 = P - 1 A P P - 1 A P

O produto P P - 1 é igual a matriz identidade, e por isso podemos cortá-lo:

D 2 = P - 1 A A P

Executando o produto matricial A A , obtemos então a matriz diagonal ao quadrado.

D 2 = P - 1 A 2 P

Vamos aplicar esse processo mais uma vez:

D 2 ⋅ D = ( P - 1 A 2 P ) ⋅ D

D 3 = ( P - 1 A 2 P ) ⋅ ( P - 1 A P )

D 3 = P - 1 A 2 P P - 1 A P

D 3 = P - 1 A 2 A P

D 3 = P - 1 A 3 P

Então repare que podemos repetir esse processo k vezes, até chegarmos em:

D k = P - 1 A k P

Logo, D k é a matriz diagonal referente à A k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que X = ( x , y ) é ortogonal a V = ( a , b ) ≠ 0 ̄ V com | | X | | = | | V | | se, e somente se, X = ( - b , a ) ou X = ( b , - a ) .
Mostre que se uma matriz A é diagonalizável por uma matriz ortogonal (isto é, existem P e D , com P - 1 = P t e D diagonal, tais que A = P D P t então A é uma matriz simétrica.
Seja A uma matriz invertível n × n . Mostre que existe uma matriz simétrica definida positiva P e uma matriz ortogonal U , tal que A = P U . Esta decomposição é única chamada de decomposição polar de
Mostre que se A é uma matriz ortogonal 2 × 2 , então existe um número real θ tal que A = ⎜c o s θ - s e nθ⎜⎜ ⎜ ⎜s e nθ c o s θ ⎜⎜ ⎜ou A = ⎜c o s θ s e nθ ⎜⎜ ⎜ ⎜s e nθ- c o s θ⎜⎜ ⎜A primeira matriz, te
Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis: ⎜1 1 - 2⎜⎜ ⎜ ⎜4 04 ⎜⎜ ⎜ ⎜1- 14⎜⎜ ⎜