Enunciado

Escolhendo o sistema de eixos adequado, mostre que, dados dois pontos A   e   B , o conjunto dos pontos P do espaço tais que d ( P ,   A ) ²   -   d ( P ,   B ) ²   =   c (uma constante) é um plano perpendicular `a reta A B .

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Esse é um exercício demonstrativo que vamos provar por absurdo, beleza!

Para qualquer ponto P   ( x ;   y ;   z ) ; se este ponto P está no plano π   ; então a linha

Segmento P 0 P encontra-se inteiramente no plano. Consequentemente, vetor

P 0 P → =   r → - r 0 → =   x - x 0 . y - y - , z - z 0

Onde r →   =   x , y , z   e   r 0 → = ( x 0 , y 0 , z 0 )

Neste caso tenho a reta A B   → =   r 0 → e r →   u m a   r e t a   n o   p l a n o   p e r p e n d i c u l a r   a   A B   →   é perpendicular ao vetor normal n → . Por outro lado, se P é   π então P 0 P → =   r 0 → não é perpendicular a n → : Concluímos que:

P   ∈   π   ↔ P 0 P → .   n → = 0  

r → - r 0 → . n → = 0  

Chamamos de equação vetorial do plano π :Em termos de componentes

  x - x 0 . y - y - , z - z 0 . A , B , C = 0  

A x - x 0 + B y - y + C ( z - z 0 )

A x +   B y + C z +   D = 0  

Que é a equação do plano perpendicular à reta A B →

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Achar a distância do ponto P ( 2 , - 3 , 5 ) ao planopi : 3 x + 2 y + 6 z - 2 = 0
Determinar a distância do ponto P = ( 2 ,- 1 ,2 ) a cada um dos planos:a) π : 2 x - 2 y - z + 3 = 0
Determinar a distância do ponto P = ( 2 ,- 1 ,2 ) a cada um dos planos:c) π : 2 x + y = 3
Dado o tetraedro de vértices A = 1 ,2 ,1 ,B = 2 ,- 1 ,1 ,C = ( 0 ,- 1 ,- 1 ) e D = ( 3 ,1 ,0 ) , calcular a medida da altura baixada do vértice D ao plano da face A B C .
Determinar a distância do ponto P = ( 2 ,- 1 ,2 ) a cada um dos planos:b) π : x + y + z = 0