Enunciado

Escreva a matriz dada como um produto de matrizes elementares.

- 3 1 2 2

Passo 1

Pensando no caminho inverso, vamos provar que a matriz - 3 1 2 2 pode ser decomposta no produto dado por:

- 3 1 2 2 = 1 0 0 2 × 1 1 0 1 × - 4 0 0 1 × 1 0 1 1

Passo 2

Assim, vamos fazer o cálculo de 1 0 0 2 × 1 1 0 1 .    

Assim, observe que:

1 0 0 2 × 1 1 0 1 =   1 × 1 + 0 × 0 1 × 1 + 0 × 1 0 × 1 + 2 × 0 0 × 1 + 2 × 1 = 1 + 0 1 + 0 0 + 0 0 + 2 = 1 1 0 2 .

Agora, vamos fazer o cálculo de 1 1 0 2 × - 4 0 0 1 .

Observe que:

1 1 0 2 × - 4 0 0 1 = 1 × - 4 + 1 × 0 1 × 0 + 1 × 1 0 × - 4 + 2 × 0 0 × 0 + 2 × 1 = - 4 + 0 0 + 1 0 + 0 0 + 2 = - 4 1 0 2 .

Agora, vamos fazer o cálculo de - 4 1 0 2 × 1 0 1 1 .

Daí,

- 4 1 0 2 × 1 0 1 1 = - 4 × 1 + 1 × 1 - 4 × 0 + 1 × 1 0 × 1 + 2 × 1 0 × 0 + 2 × 1 = - 4 + 1 0 + 1 0 + 2 0 + 2 = - 3 1 2 2 .

Resposta

Logo, conclui-se que:

- 3 1 2 2 = 1 0 0 2 × 1 1 0 1 × - 4 0 0 1 × 1 0 1 1 .

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Encontre uma matriz elementar E que satisfaça a equação. E A = B E B = A E A = C E C = A
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Em cada parte, são dadas uma matriz elementar E e uma matriz A . Escreva as operações elementares com linhas correspondentes a E e mostre que, aplicando essas operações a A , o resultado E A . E = - 6