Enunciado

(Requer Cálculo) Pode ser mostrado que os vetores

1 .     x - c   .   x - c 2 2 ! .   …     x - c n n !

Formam uma base de P n qualquer que seja o número real c dado. Encontre a matriz do operador de derivação do Exercício 23 em relação a essa base.

Passo 1

A base B   e a sua derivada é

B = x - c 0 0 ! .     x - c 1 1 !   .   x - c 2 2 ! .   … .   .   x - c n n !

B ' =   0 .   1 ,   x - c ,   … , n x - c n - 1 n !

E substituindo os valores por y para ficar mais fácil de enxergar, teremos a base

  0 .   1 ,   y   ,   … , n y n - 1 n - 1 !

Assim, substituímos os valores na matriz, ficando:

0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 3 3 ! ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ n n ! 0 0 0 0 ⋯ 0 .   0 1 y ⋮ y n - 1 y n = 0 1 y ⋮ n y n - 1 n - 1 ! 0

Resposta

0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 3 3 ! ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ n n ! 0 0 0 0 ⋯ 0

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