Enunciado

(Requer Cálculo) Sejam D : P n → P n o operador de derivação D p = p ' . Mostre que a matriz de D em relação a base B = { 1 , x , x 2 , ,   .   .   .   ,   x n } é

0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 2 0 ⋯ 0 0 0 0 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ n 0 0 0 0 ⋯ 0

Passo 1

Se aplicar a derivada D p = p ' na base B , teremos:

B = 1 , x , x 2 , ,   .   .   .   ,   x n

B ' = { 0 ,   1 ,   2 x ,   ,   .   .   .   , n   x n - 1 }  

Lembremos que o sistema A x = b , assim

0 1 0 0 ⋯ 0 0 0 2 0 ⋯ 0 0 0 0 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ n 0 0 0 0 ⋯ 0   .   0 1 x ⋮ x n - 1 0 = 0 1 2 x ⋮ n x n - 1 0

E a última linha trata-se de uma linha de zeros, para manter o padrão n × n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam B 1 = u 1 ,u 2 ,u 3 e B 2 = v 1 ,v 2 ,v 3 as bases de R 3 dadas por u 1 = - 3 ,0 ,- 3 , u 2 = - 3 ,2 ,- 1 , u 3 = 1 ,6 ,- 1 , v 1 = - 6 ,- 6 ,0 , v 2 = - 2 ,- 6 ,4 e v 3 = - 2 ,- 3 ,7 .a) Encont
Seja B 1 = u 1 ,u 2 e B 2 = v 1 ,v 2 as bases de R 2 dads por u 1 = 1 ,2 , u 2 = 2 ,3 , v 1 = 1 ,3 e v 2 = 1 ,4 .a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição P B 2 → B 1 .a) Use a fórmul
Sejam S a base canônica de R 2 e B = v 1 ,v 2 a base dada por v 1 = ( 2 ,1 ) e v 2 = - 3 ,4 .a) Encontre a matriz de transição P B → S por inspeção.a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de tra
Sejam S a base canônica de R 3 e B = v 1 ,v 2 ,v 3 a base dada por v 1 = ( 1 ,2 ,1 ) , v 2 = 2 ,5 ,0 e v 3 = 3 ,3 ,8 .a) Encontre a matriz de transição P B → S por inspeção.a) Use a fórmula (14) para
Sejam B 1 = u 1 ,u 2 ,u 3 e B 2 = v 1 ,v 2 ,v 3 as bases de R 3 dadas por u 1 = 2 ,1 ,1 , u 2 = 2 ,- 1 ,1 , u 3 = 1 ,2 ,1 , v 1 = 3 ,1 ,- 5 , v 2 = 1 ,1 ,- 3 e v 3 = - 1 ,0 ,2 .a) Encontre a matriz de