Enunciado

Escrever as equações dos planos paralelos ao plano π : 3 x - 2 y - 6 z - 5 = 0 que distam 5 unidades da origem.

Passo 1

A distância entre um ponto P ' = ( x ,   y ,   z ) e um plano π ' :   a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d P ' , π ' = a x + b y + c z + d a 2 + b 2 + c 2

No nosso caso, temos P = ( 0 ,   0 ,   0 ) , pois estamos falando da origem, e queremos planos paralelos a π que distem 5 desse ponto P .

Como esses planos são paralelos a π , eles têm o mesmo vetor normal, a única coisa que vai mudar é o valor de d na equação

3 x - 2 y - 6 z + d = 0

Então, temos o seguinte:

d ( P , π ) = 5 = 3.0 - 2.0 - 6.0 + d 3 2 + - 2 2 + ( - 6 ) ²

Vamos encontrar os valores de d que satisfazem a equação acima ;)

Passo 2

Temos

5 = 3.0 - 2.0 - 6.0 + d 3 2 + - 2 2 + - 6 2

5 = d 9 + 4 + 36

5 = d 49

5 = d 7

d = 7.5

d = 35

Então

d = ± 35

Como d pode assumir dois valores, temos duas possibilidades de planos paralelos ao plano do enunciado que distam 5 da origem:

π ' :   3 x - 2 y - 6 z + 35 = 0

π ' ' :   3 x - 2 y - 6 z - 35 = 0

Resposta

π ' :   3 x - 2 y - 6 z + 35 = 0

π ' ' :   3 x - 2 y - 6 z - 35 = 0

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