Enunciado

No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =   ∫ 0 1 f t ∙ g t   d t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .

Passo 1

Bom, para calcular o produto f t ∙ g t vamos aplicar na integral da definição ali...

f t ∙ g t =   ∫ 0 1 f t ∙ g t   d t

∫ 0 1 ( t 2 - 2 t ) ( t + 3 )   d t

Desenvolvemos a integral agora...

∫ 0 1 t 3 - 2 t 2 + 3 t 2 - 6 t   d t

t 4 4 + t 3 3 - 6 t 2 2   1 0 = 1 4 + 1 3 - 6 2 =   - 29 12

Produto calculado!

Passo 2

Vamos para a norma agora...

Bom, a norma é como se fosse: f t ∙ f t

Vamos descobrir quanto dá esse produto aí então:

f t ∙ f t =   ∫ 0 1 ( t 2 - 2 t ) ( t 2 - 2 t )   d t

∫ 0 1 ( t 4 - 4 t 3 + 4 t 2   d t

= t 5 5 - 4 t 4 4 + 4 t 3 3   1 0 = 1 5 - 1 + 4 3 = 8 15  

Então, a norma f t = 8 15 .

Resposta

- 29 12   e   8 15

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Seja V um espaço euclidiano com produto interno u , v . Para que valores de α ∈R a aplicação: u , v → α u , v Também é produto interno sobre V ?
No espaço vetorial euclidiano R 4 sejam u = 1,2 , 0,1 e v = ( 3,1 , 4,2 ) . Determinar u , v ,u ,v ,d u , v ,u + v u + v e o cosseno do ângulo de u e v .
Verifique a lei do paralelogramo num espaço euclidiano V : u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 ,∀ u , v∈ V .
Sabendo que u = 3 e v = 5 , com u e v elementos de um espaço euclidiano, determine α ∈R de maneira que u + α v , u - α v = 0
Mostrar que, se u ,v = 0 , para todo vetor v , então u = o .