Enunciado

Se V um espaço vetorial. Se ( ∪ j ) j ∈ J é uma família de subespaços vetoriais de V , mostrar que ( ∩ i ) j ∈ J também é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Vamos mostrar usando dois subespaços vetoriais U e V . O mesmo procedimento vale para toda a família de subespaços vetoriais de V . Beleza?

Temos que verificar que valem as condições de subespaço para U ∩ V .

  1. Como U e W são subespaços de V , o elemento neutro de V está em U e também em W , logo está na intersecção U   ∩   W ;
  2. Tome v 1 , v 2 ∈   U   ∩   W , ou seja, v 1 , v 2   ∈   U e v 1 , v 2 ∈   W .
  3. Assim, temos: v 1 + v 2 ∈   U e v 1 + v 2 ∈   W , pois U e W são subespaços vetoriais. Logo, v 1 + v 2 ∈   U   ∩   W ;

  4. Tome v   ∈   U   ∩   W   e   α   ∈   R , temos que α v   ∈   U   e   α v   ∈   W , pois U e W são subespaços.

Logo,   α v   ∈   U   ∩   W .

Como as três condições são satisfeitas, U ∩ V também é um subespaço de V .

Beleza?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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