Enunciado

Mostre que se W 1 ,   . . .   ,   W k são vetores não nulos ortogonais entre si e X = α 1 W 1 +   . . .   + α k W k , então X = p r o j W 1 X +   . . .   +   p r o j W k X .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Para resolver esta questão vamos nos lembrar a definição de ortogonalidade mais simples que pode ser utilizada neste problema, ou seja:

X ⋅ Y = ∑ i = 1 3 x i y i = 0           ( 1 )

e temos também a seguinte definição:

p r o j W V = ( V ⋅ W | | W | | 2 ) W           ( 2 )

Isso já deve ser o suficiente, vamos lá!

Passo 2

Se temos que

W i ⋅ W k = 0           i ≠ k

Tendo em vista a definição (2), também é conveniente fazermos o seguinte:

W i ⋅ X = W i ⋅ ( α 1 W 1 + α k W k )

Vamos relembrar algumas propriedades do produto escalar, belezinha?

Passo 3

Temos a propriedade distributiva do produto escalar, onde:

X ⋅ ( Y + Z ) = X ⋅ Y + X ⋅ Z

e também a propriedade da multiplicação por escalar:

X ⋅ ( α Y ) = α ( X ⋅ Y )

portanto, temos que

W i ⋅ ( α 1 W 1 + . . .   + α k W k ) = α 1 ( W i ⋅ W 1 ) +   . . .   + α 2 ( W i ⋅ W 2 )

Como os vetores W i são ortogonais entre si, a relação acima toma a forma:

W i ⋅ X = α i | | W i | | 2 → a i = W i ⋅ X | | W i | | 2

uma vez que | | V | | = V ⋅ V . Vamos voltar agora para a definição original para X !

Passo 4

Se X tem a forma:

X = α 1 W 1 +   . . .   + α k W k → X = W 1 ⋅ X | | W 1 | | 2 W 1 +   . . .   + W k ⋅ X | | W k | | 2 W k

e usando a definição (2) temos:

X = p r o j W 1 X +   . . .   + p r o j W k X

Nossa questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos.

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