Enunciado

a) No exercício resolvido anterior, suponha que u → , v → e w → sejam não-nulos, não necessariamente unitários. Pode-se ainda concluir que ( u → ,   v → ,   w → ) é base?

c) Mostre que, se u → , v → e w → são vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, então u → ,   v → ,   w → é LI. Vale o mesmo resultado para dois vetores?

Passo 1

Para resolver essa questão você deve ter dado uma olhada no exercício resolvido 9-9. Nele, se os ângulos entre os vetores, dois a dois, são 30 ° , 45 ° e 90 ° e eles são unitários, provamos que eles são LI. No item (a), queremos saber se eles ainda seriam LI caso os vetores não fossem necessariamente unitários.

A resposta para isso isso é: sim, eles ainda seriam LI. Para mostrar isso basta lembrar que o que determina se um vetor é combinação linear de outro é sua direção, não sua norma. Assim, se um conjunto de vetores u → ,   v → ,   w → é LI, então o conjunto α u → ,   β v → ,   γ w → também é LI se os coeficientes forem não nulos.

Passo 2

Para o item (b), devemos mostrar que se três vetores são dois a dois ortogonais, então eles serão LI. Para fazer essa demonstração, vamos supor inicialmente que eles são unitários e depois usar o resultado do item (a) para generalizar o resultado.

Desta forma, sejam u → , v → e w → tais que

u → = v → = w → = 1

u → ⋅ u → = v → ⋅ v → = w → ⋅ w → = 1

u → ⋅ v → = v → ⋅ w → = w → ⋅ u → = 0

Para que o conjunto seja LI, a única solução da equação

a u → + b v → + c w → = 0 →

deve ser a = b = c = 0 .

Multiplicando a equação escalarmente por u → :

u → ⋅ a u → + b v → + c w → = 0

Fazendo a distributiva, obtemos

a   u → ⋅ u → + 0 + 0 = 0 ⇒ a = 0

Fazendo o mesmo com v → :

v → ⋅ a u → + b v → + c w → = 0 ⇒ b = 0

Por fim, com w → :

w → ⋅ a u → + b v → + c w → = 0 ⇒ c = 0

Passo 3

No passo 2 provamos que se u → , v → e w → forem unitários e dois a dois ortogonais, eles são LI. Mas pelo que vimos no item (a), se mudarmos a norma dos vetores mantendo sua direção, o conjunto segue sendo LI. Desta forma, provamos que qualquer conjunto de três vetores não-nulos, dois a dois ortogonais, é LI.

O resultado é válido para dois vetores também!

Resposta

Sim e demonstração.

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