Enunciado

No exercício 9, verifique que P é uma matriz estocástica regular e encontre o vetor de estado estacionário da cadeia de Markov associada.

P = 1 / 2 1 / 2 0 1 / 4 1 / 2 1 / 3 1 / 4 0 2 / 3

Passo 1

Primeiramente, devemos verificar se a matriz é estocástica, e podemos utilizar a mesma abordagem que aprendemos no exercício anterior,

Como todas as entradas são positivas e as somas dos elementos dos vetores coluna da matriz é igual a 1, a matriz P é uma matriz estocástica.

Passo 2

Agora, para sabermos se ela será regular, se P ou alguma potência positiva de P tiver todas as entradas positivas e não nulas, nesse caso,

P 2 = 0,3750 0,5000 0,1667 0,3333 0,3750 0,3889 0,2917 0,1250 0,4444

Fazendo a potência de 2 em P, verifica-se que a matriz é estocástica regular.

Passo 3

Para encontramos o vetor de estado estacionário de uma matriz P qualquer, precisamos encontrar um vetor q eu respeite a seguinte equação,

I - P q = 0

Sendo assim, substituindo os valores temos,

      1 / 2 - 1 / 2 0 - 1 / 4       1 / 2 - 1 / 3 - 1 / 4 0       1 / 3 q 1 q 2 q 3 = 0 0 0

Escrevendo a matriz na forma de sistemas de equações,

1 2 q 1 - 1 2 q 2 = 0 - 1 4 q 1 + 1 2 q 2 - 1 3 q 3 = 0 - 1 4 q 1 + 1 3 q 3 = 0

Resolvendo o sistema, encontramos que

q 1 = s ;       q 2 = q 1 ;       q 3 = 3 4 s

Passo 4

Para q ser um vetor probabilidade, precisamos ter

1 = q 1 + q 2 + q 3 = s + s   +   3 4 s =   11 4 s

∴         s =   4 11

Resposta

Com isso, encontramos o vetor de estado estacionário,

q = q 1 q 2 q 3 = 4 / 11 4 / 11 3 / 11

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Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador matricial dado. a) T:R 3→R 3 reflete cada vetor no plano x z e, em seguida,contrai esse vetor pelo fator k = 1 5 .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( x + 1 , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( x 2 , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 3→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( 3 x - 4 y , 2 x - 5 z ) .
Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador matricial dado. b) T:R 3→R 3 projeta cada vetor ortogonalmente sobre o plano x z e, em seguida, projeta esse vetor ortogonalmente sobre o plano x