Enunciado

Nos exercícios de 7-11 use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável.

3 0 0 0 2 0 0 1 2

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = 3 0 0 0 2 0 0 1 2

Note que esta é uma matriz triângular inferior, então podemos definir seus autovalores apartir da diagonal principal:

λ 1 = 3 λ 2 = 2 λ 3 = 2

Passo 2

Vamos calcular os Autovetores.

3 - λ 0 0 0 2 - λ 0 0 1 2 - λ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ 1 = 3

3 - 3 0 0 0 2 - 3 0 0 1 2 - 3 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

0 0 0 0 - 1 0 0 1 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Por eliminação gaussiana, podemos somar a segunda linha na terceira:

0 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Concluímos que x 1 pode ser qualquer número, e que x 2 e x 3 são iguais a zero:

x 1 = t x 2 = 0 x 3 = 0

Assim, o autovetor associado a λ 1 = 3 é:

λ = 3 ⇒ x → = t 1 0 0

Assim, o autovalor λ 1 = 3 tem multiplicidade geométrica igual a um e multiplicidade algébrica igual a um

Passo 3

Agora vamos calcular os Autovetores para λ 2 = λ 3 = 2

3 - 2 0 0 0 2 - 2 0 0 1 2 - 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Concluímos então que:

x 1 = 0 x 2 = t x 3 = 0

Assim, o autovetor associado a λ = 2 é?

λ = 2 ⇒ x → = t 0 1 0

Assim, o autovalor λ 2 = λ 3 = 2 , aparece duas vezes como autovalor e por isso tem multiplicidade geométrica igual a dois. Porém, este autovalor gera apenas um autovetor, então sua multiplicidade geométrica é igual a um.

Como neste caso o a multiplicidade geométrica é diferente da multiplicidade algébrica, então a matriz não pode ser diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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