Enunciado

Nos exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométricas e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P

A = 5 0 0 1 5 0 0 1 5

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = 5 0 0 1 5 0 0 1 5

Essta é uma matriz triangular, então os autovalores são:

λ 1 = λ 2 = λ 3 = 5

Como o mesmo autovalor aparece três vezes, a multiplicidade algébrica é igual a 3

Passo 2

Vamos calcular os autovetores:

λ - 5 0 0 - 1 λ - 5 0 0 - 1 λ - 5 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ = 5

0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = t

Então os autovetores associados:

λ = 5 ⇒ x → = t 0 0 1

Este autovalor tem multiplicidade aritimética igual a 3 , e é associado a apenas um autovetor, o que torna sua multiplicidade geométrica igual a 1. Então a matriz não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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