Enunciado

Nos exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométricas e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P

A = 0 0 0 0 0 0 3 0 1

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = 0 0 0 0 0 0 3 0 1

Essta é uma matriz triangular, então os autovalores são:

λ 1 = λ 2 = 0 λ 3 = 1

O autovalor λ 1 = λ 2 = 0 aparece duas vezes então a multiplicidade algébrica é igual a 2. E o autovalor λ 3 = 1 aparece uma vez e sua multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 2

Vamos calcular os autovetores:

λ - 0 0 0 0 λ - 0 0 - 3 0 λ - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para λ = 0

0 0 0 0 0 0 - 3 0 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

x 1 = t x 2 = s x 3 = - 3 t

Então os autovetores associados:

λ = 0 ⇒ x → = t s - 3 t

Como temos duas variáveis depentes, podemos separar em dois autovetores:

λ = 0 ⇒ x → = t 0 - 3 t + 0 s 0

λ = 0 ⇒ x → 1 = t 1 0 - 3   e   x → 2 = s 0 1 0

As bases dos autovetores são:

p → 1 = 1 0 - 3

p → 2 = 0 1 0

Este autovalor tem multiplicidade aritimética igual a 2 , e é associado a dois autovetores, o que torna sua multiplicidade geométrica igual a 2. Por definição, a multiplicidade geométrica do outro autovalor deve ser ao menos 1. Então a matriz é diagonalizável.

Passo 3

Para λ = 1

1 0 0 0 1 0 - 3 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = t

Então os autovetores associados:

λ 3 = 1 ⇒ x → = t 0 0 1

A base do autovetor é:

p → 3 = 0 0 1

Passo 4

A matriz P é dada pela composição dos autovetores:

P = p → 1 p → 2 p → 3 = 1 0 - 3 0 1 0 0 0 1

E a matriz diagonal é igual a diagonal de autovalores:

P - 1 A P = λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Resposta

A matriz é diagonalizável.

P = 1 0 - 3 0 1 0 0 0 1

P - 1 A P = 0 0 0 0 0 0 0 0 1

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