Enunciado

Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis.

2 )   T : R 2 → R 2 : T x , y = ( 2 y ,   x )

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

Vamos começar escrevendo a matriz da transformação.

T x , y = 2 y , x

Então:

T x , y = ( 0 x + 2 y ,   1 x + 0 y )

Daí,

T = 0 2 1 0

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

0 - λ 2 1 0 - λ = 0

λ 2 - 2 = 0

λ = ± 2

Agora a gente substitui cada um e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = 2 :   v = 2 , 1

λ = - 2 : v = ( - 2 ,   1 )

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 2 , e encontramos 2 autovetores distintos e L I , certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador é diagonalizável!

Resposta

É diagonalizável.

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Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:h) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
Demonstre que se A é uma matriz triangular superior, então os autovalores de A são os elementos da diagonal principal de A.
Mostre que A é singular se, e somente se, 0 for um autovalor de A.
Seja λ um autovalor de A com autovetor associado X. Demonstre que λ k é um autovalor de A k = A … A associado a X, em que k é um inteiro positivo.
Demonstre que se A e B são semelhantes, então possuem os mesmos polinômios característicos e portanto os mesmo autovalores.