Enunciado

T: F (- oo , oo) -> F (- oo , oo) , sendo

  1. T (F (x)) = 1 + f (x)
  2. T (F (x)) = f (x + 1)

Passo 1

Olá, vamos usar o teorema 8.1.8 para resolver essa questão, que diz:

Verifique se há propriedades de homogeneidade e propriedades aditivas. Se elas satisfazem, a função é uma transformação linear.

Passo 2

  1. T (F (x)) = 1 + f (x) , isso é f (x) e F (- oo , oo)
  2. Pela propriedade da aditividade:

    T ( f (x) + g (x) = 1 + ( f (x) + g (x)^' )

    = 1 + f (x) + g (x)

    T ( f (x) + T (g (x)) = (1 + f (x)) + ( 1 + g (x) )

    = 2 + f (x) + g (x)

    A propriedade aditiva não se mantém, sendo assim a função não é uma transformação linear.

    Passo 3

  3. T (F (x)) = f (x + 1) , isso é f ( x ) e F (- oo , oo)

Pela propriedade da aditividade:

T ((f + g) (x)) = (f + g) (x + 1)

= f (x + 1) + g (x + 1)

= T (f (x)) + T (g (x))

Pela propriedade da homogeneidade:

T (k f (x)) = (k f) (x + 1)

= k (f (x + 1))

= k T (f (x))

Tanto a propriedade aditiva quanto a homogeneidade se mantém, sendo assim a função é uma transformação linear.

Conseguimos!!! \o/

Resposta

  1. Não é uma transformação linear.
  2. É uma transformação linear.
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