Enunciado

Nos Exercícios 17-20, encontre a solução geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.

19.

  x 1 + 5 x 2 + x 3 + 2 x 4 - x 5 = 0       x 1 - 2 x 2 - x 3 + 3 x 4 + 2 x 5 = 0  

Passo 1

Podemos rescrever nosso sistema na forma matricial, para resolvermos nosso problema, logo:

1       5       1       2 - 1 1 - 2 - 1       3       2   ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0  

Vamos encontrar a solução do sistema por meio da matriz aumentada M .

1       5       1       2 - 1 1 - 2 - 1       3       2       0       0

L 2 ← L 2 - L 1

Fazendo essas operações lineares na nossa matriz, temos:

1       5       1     2 - 1 0 - 7 - 2     1       3         0       0

Como já escalonamos a matriz aumentada, podemos voltar para a forma original de sistema:

1       5       1     2 - 1 0 - 7 - 2     1       3 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0

  x 1 + 5 x 2 + x 3 + 2 x 4 - x 5 = 0                     - 7 x 2 - 2 x 3 + x 4 + 3 x 5 = 0

Passo 2

Como nosso sistema, é um sistema homogêneo, e já o escalonamos, então podemos obter a solução a partir dessa equações:

  x 1 + 5 x 2 + x 3 + 2 x 4 - x 5 = 0                     - 7 x 2 - 2 x 3 + x 4 + 3 x 5 = 0

Da segunda equação temos que:

- 7 x 2 - 2 x 3 + x 4 + 3 x 5 = 0

7 x 2 = - 2 x 3 + x 4 + 3 x 5

x 2 = - 2 7 x 3 + 1 7 x 4 + 3 7 x 5

Da primeira equação temos:

x 1 + 5 x 2 + x 3 + 2 x 4 - x 5 = 0

x 1 = - 5 x 2 - x 3 - 2 x 4 + x 5

Substituindo x 2 na equação:

x 1 = - 5 - 2 7 x 3 + 1 7 x 4 + 3 7 x 5 - x 3 - 2 x 4 + x 5

x 1 = 10 7 x 3 - 5 7 x 4 - 15 7 x 5 - x 3 - 2 x 4 + x 5

x 1 = - x 3 + 10 7 x 3 + - 2 x 4 - 5 7 x 4 + x 5 - 15 7 x 5

Estamos quase lá, só resolver essas somas, e teremos:

x 1 = 3 7 x 3 - 19 7 x 4 - 8 7 x 5

Prontinho, agora temos nossa solução:

x 1 = 3 7 x 3 - 19 7 x 4 - 8 7 x 5 x 2 = - 2 7 x 3 + 1 7 x 4 + 3 7 x 5 x 3 = x 3 x 4 = x 4 x 5 = x 5

De acordo com o livro, adotamos as letras r , s , t para solução, logo a solução fica na forma:

x 1 = 3 7 r - 19 7 s - 8 7 t ,   x 2 = - 2 7 r + 1 7 s + 3 7 t   , x 3 = r , x 4 = s e x 5 = t

Passo 3

Para verificarmos que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução, podemos escrever a solução de forma vetorial.

x = 3 7 r - 19 7 s - 8 7 t   ,   - 2 7 r + 1 7 s + 3 7 t   , r   ,   s   ,   t

e temos o vetor linha r 1 = ( 1,3 , - 4 ) , fazendo o produto escalar:

r 1 ⋅ x = 1,5 , 1,2 , - 1 ⋅ 3 7 r - 19 7 s - 8 7 t     ,   - 2 7 r + 1 7 s + 3 7 t     ,   r   ,   s   ,   t

= 1 3 7 r - 19 7 s - 8 7 t + 5 - 2 7 r + 1 7 s + 3 7 t + 1 r + 2 s - 1 ( t )

= 3 7 r - 19 7 s - 8 7 t - 10 7 r + 5 7 s + 15 7 t + r + 2 s - t

= 3 r - 10 r 7 + - 19 s + 5 s 7 + - 8 t + 15 t 7 + r + 2 s - t

= - 7 r 7 + - 1 4 s 7 + 7 t 7 + r + 2 s - t = - r - 2 s + t + r + 2 s - t = 0

Como r 1 ⋅ x = 0 , podemos concluir que vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução.

Resposta

x 1 = 3 7 r - 19 7 s - 8 7 t ,   x 2 = - 2 7 r + 1 7 s + 3 7 t   , x 3 = r , x 4 = s e x 5 = t

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