Enunciado

Nos exercícios 23-26, encontre uma matriz invertível P e uma matriz C da forma (15) tais que A = P C P - 1

A = 4 - 5 1 0

Passo 1

A = 4 - 5 1 0

Vamos começar a questão calculando os autovalores de A

det ⁡ λ I - A = 0

λ - 4 5 - 1 λ = 0  

λ - 4 λ - 5 ⋅ ( - 1 ) = 0

λ 2 - 4 λ + 5 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

λ = 2 ± i

Passo 2

Agora vamos calcular o autovetor associado à λ 1 = 2 - i

λ - 4 5 1 λ x 1 x 2 = 0 0

- ( 2 + i ) 5 - 1 2 - i x 1 x 2 = 0 0

Vamos aplicar a Eliminação Gaussiana:

- ( 2 + i ) 5 - 1 2 - i 0 0

Se multiplicarmos a primeira linha por ( 2 - i ) vamos perceber que as duas linhas são múltiplos escalares entre si:

- ( 2 + i ) ( 2 - i )   5 ( 2 - i )   - 1 2 - i 0 0 ⇒ - 5   5 ( 2 - i )   - 1 2 - i 0 0

Então, podemos eliminar a primeira linha:

0 0 - 1 2 - i 0 0

Chegamos em:

- x 1 + 2 - i x 2 = 0

Se chamarmos x 2 de um valor t qualquer:

x 2 = t

- x 1 + 2 - i t = 0 ⇒ x 1 = ( 2 - i ) t

Assim, o autovetor associado é:

x → = 2 - i 1 t

Passo 3

Agora podemos aplicar o Teorema 5.3.8 para determinar a matrix P

P = R e x → + I m x

P = R e 2 - i R e 1 I m 2 - i I m 1

P = 2 - 1 1 0

E já vamos calcular logo a inversa desta matriz. Como é uma matriz 2x2, podemos calcular a inversa como:

P = a b c d ⇒ P - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Aplicando os valores:

P - 1 = 0 1 - 1 2

Passo 4

Vamos continuar aplicando o Teorema 5.3.8:

A = P C P - 1

Podemos multiplicar os dois lados por P - 1 à direita, e por P à esquerda:

P - 1 A P = P - 1 P C P - 1 P

O que resulta em:

C = P - 1 A P

Vamos aplicar os valores:

C = 0 1 - 1 2 ⋅ 4 - 5 1 0 ⋅ 2 - 1 1 0

C = 4 - 7 3 - 4

Resposta

P = 2 - 1 1 0

C = 4 - 7 3 - 4

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