Enunciado

  1. Resolva o sistema
  2. y 1 ' = y 1 + 3 y 2 y 2 ' = 4 y 1 + 5 y 2

  3. Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y 1 0 = 2 ,   y 2 0 = 1

Passo 1

Item A)

A gente tem o sistema:

y 1 ' = y 1 + 3 y 2 y 2 ' = 4 y 1 + 5 y 2

Colocando em forma matricial temos:

1 3 4 5 y 1 y 2 = y ' 1 y ' 2

Então, a matriz de coeficientes é:

A = 1 3 4 5

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os autovalores da matriz de coeficientes:

det ⁡ λ I - A = 0

Aplicamos os valores:

λ - 1 - 3 - 4 λ - 5 = 0

Calculamos o determinante:

λ - 1 λ - 5 - - 3 - 4 = 0

Encontramos a equação característica:

λ 2 - 6 λ - 7 = 0

E resolvendo esta equação encontramos os autovalores:

λ 1 = 7 λ 2 = - 1

Passo 3

E agora vamos calcular os autovetores e a base dos autos espaços pela relação.

λ I - A x → = 0

λ - 1 - 3 - 4 λ - 5 x 1 x 2 = 0 0

Para λ 1 = 7

6 - 3 - 4 2 x 1 x 2 = 0 0

Vamos dividir a primeira linha por 3 e a segunda linha por - 2 :

2 - 1 2 - 1 x 1 x 2 = 0 0

Como as duas linhas são iguais, então podemos zerar a segunda linha:

2 - 1 0 0 x 1 x 2 = 0 0

Chegamos em:

2 x 1 - x 2 = 0

Se x 1 = t , então x 2 = 2 t .

Logo, o autovetor e a base do auto espaço são:

x → 1 = 1 2 t p 1 = 1 2

Passo 4

Para λ = - 1

- 2 - 3 - 4 - 6 x 1 x 2 = 0 0

Perceba que as duas linhas são múltiplos escalares entre si, então podemos zerar a segunda linha. Vamos aproveitar para também dividir a primeira linha por - 1 :

2 3 0 0 x 1 x 2 = 0 0

Chegamos em:

2 x 1 + 3 x 2 = 0

Logo, o autovetor e a base do auto espaço são:

x → 2 = - 3 2 t p 2 = - 3 2

Passo 5

Vamos utilizar as bases dos autovetores para determinar a matriz P:

P = p 1 p 2 = 1 2 - 3 2

E agora vamos diagonalizar a matriz A:

D = P - 1 A P = λ 1 0 0 λ 2 ⇒ D = 7 0 0 - 1

Passo 6

Agora vamos resolver o sistema diagonal:

u → ' = D ⋅ u →

u 1 ' u 2 ' = 7 0 0 - 1 ⋅ u 1 u 2

Efetuando o produto matricial:

u 1 ' = 7 u 1 u 2 ' = - u 2

Pela solução geral de equações diferenciais, podemos assumir que:

u 1 = c 1 e 7 x u 2 = c 2 e - x

Logo:

u → = c 1 e 7 x c 2 e - x

Passo 7

Agora vamos calcular a equação diferencial:

y → = P ⋅ u →

Vamos aplicar:

y 1 y 2 = 1 2 - 3 2 ⋅ c 1 e 7 x c 2 e - x

Efetuando a multiplicação matricial chegamos na solução das equações:

y 1 y 2 = c 1 e 7 x - 3 c 2 e - x 2 c 1 e 7 x + 2 c 2 e - x

Podemos expressar como:

y 1 = c 1 e 7 x - 3 c 2 e - x y 2 = 2 c 1 e 7 x + 2 c 2 e - x

Passo 8

Item B)

A questão nos afirma que quando x = 0 , então y 1 0 = 2 ,   y 2 0 = 1

y 1 0 = c 1 e 7 ⋅ 0 - 3 c 2 e 0 y 2 0 = 2 c 1 e 7 ⋅ 0 + 2 c 2 e 0 ⇒ 2 = c 1 e 7 ⋅ 0 - 3 c 2 e 0 1 = 2 c 1 e 7 ⋅ 0 + 2 c 2 e 0

Chegamos em:

2 = c 1 - 3 c 2 1 = 2 c 1 + 2 c 2

Resolvendo esse sistema:

c 1 = 7 8 c 2 = - 3 8

Resposta

  1. y 1 y 2 = c 1 e 5 x - 2 c 2 e - x c 1 e 5 x + c 2 e - x
  2. c 1 = 7 8 c 2 = - 3 8 y 1 = 7 8 e 7 x + 9 8 e - x y 2 = 7 4 e 7 x - 3 4 e - x
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Resolva o sistema y 1 ' = - 4 y 1 + y 2 + y 3 y 2 ' = - 2 y 1 + y 2 + y 3 ' = - 2 y 1 + y 2 + y 3 Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y 1 0 = - 1 ,y 2 0 = 1 ,y 3 = 0
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