Enunciado

Nos exercícios de 23-26, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre

  1. Uma base da imagem de T
  2. Uma base do núcleo de T
  3. O posto e a nulidade de T
  4. O posto e a nulidade de A

A = 1 - 1 3 5 6 - 4 7 4 2

Passo 1

Item A)

Temos a matriz A:

A = 1 - 1 3 5 6 - 4 7 4 2

Vamos transformá-la em uma matriz triangular superior por utilizando eliminação gaussiana. Vamos pegar a primeira linha, multiplicar por 5 e subtrair da segunda linha. Depois novamente pegamos a primeira linha, multiplicamos por 7 e subtraímos da terceira linha:

A = 1 - 1 3 0 11 - 19 0 11 - 19

A segunda e a terceira linha são iguais, então podemos eliminar a terceira linha. E vamos dividir a segunda linha por 11:

A = 1 - 1 3 0 1 - 19 11 0 0 0

Então, a primeira e a segunda coluna de A formam a base do espaço coluna de A. Esse espaço coluna de A é igual a imagem de T

I m T = 1 5 7 - 1 6 4

Passo 2

Item B)

Vamos voltar para nossa matriz triangular:

A = 1 - 1 3 0 1 - 19 11 0 0 0

Vamos pegar a segunda linha e somar na primeira:

A = 1 0 14 11 0 1 - 19 11 0 0 0

Agora vamos resolver o sistema:

A ⋅ x → = 0

1 0 14 11 0 1 - 19 11 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Resolvendo:

x 1 + 14 11 x 3 = 0

x 2 - 19 11 x 3 = 0

Se chamarmos x 3 de 11 t :

x 1 = - 14 t x 2 = 19 t x 3 = 11 t

Isso forma a base do espaço nulo de A, que é o núcleo de T:

N u c T = - 14 19 11

Passo 3

O Posto de T é igual a dimensionalidade da base da imagem de T

P o s t o T = dim ⁡ I m T = dim ⁡ 1 5 7 - 1 6 4 = 2

A nulidade de T é igual a dimensão do núcleo de T:

N u l T = dim ⁡ N u c T = dim ⁡ - 14 19 11 = 1

Passo 4

O espaço coluna de A é bidimensional, então o posto é:

P o s t o A = 2

O espaço nulo de A é unidimensional, então a nulidade de A é?

N u l A = 1

Resposta

  1. I m T = 1 5 7 - 1 6 4
  2. N u c T = - 14 19 11
  3. P o s t o T = 2 e N u l T = 1
  4. P o s t o A = 2 e N u l A = 1
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