Enunciado

Nos exercícios de 7-11 use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável.

2 - 3 1 - 1

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = 2 - 3 1 - 1

Primeiro vamos encontrar os autovalores pelo Teorema 5.1.1:

det ⁡ λ I - A = 0

Que pode ser reescrito na forma:

λ - 2 3 - 1 λ + 1 = 0

Resolvendo o determinante:

λ - 2 1 + λ - ( - 1 ) ⋅ 3 = 0

λ 2 - λ + 1 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

λ = 1 ± - 1 2 - 4 2 = 1 ± 3 ⋅ i 2

Os autovalores são:

λ 1 = 0,5 + 0,866 ⋅ i λ 2 = 0,5 - 0,866 ⋅ i

Passo 2

Vamos analisar os autovalores:

Apesar de termos dois autovalores complexos, ambos com multiplicidade algébrica e geométrica igual a um esta matriz não é diagonalizável, pois estamos trabalhando em um espaço vetorial que pertence aos reais.

Resposta

A matriz não é diagonalizável pois foge do espaço vetorial dos reais.

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