Enunciado

Nos exercícios de 7-11 use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável.

- 1 0 1 - 1 3 0 - 4 13 - 1

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = - 1 0 1 - 1 3 0 - 4 13 - 1

Primeiro vamos encontrar os autovalores pelo Teorema 5.1.1:

det ⁡ λ I - A = 0

Que pode ser reescrito na forma:

λ + 1 0 - 1 1 λ - 3 0 4 - 13 λ + 1 = 0

Resolvendo o determinante:

λ + 1 λ - 3 λ + 1 + - 1 ⋅ 1 ⋅ - 13 - 4 ( λ - 3 ) ( - 1 ) = 0

λ 2 + 2 λ + 1 λ - 3 + 13 + 4 λ - 12 = 0

λ 3 - λ 2 - λ - 2 = 0

Como a constante livre do polinômio acima é ( - 2 ) , então esse polinômio provavelmente é divisível por ( x ± 1 ) ou por ( x ± 2 ) .

Então, vamos colocar o polinômio em evidência:

λ 2 + λ + 1 λ - 2 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos duas raízes complexas:

λ - 2 λ - - 1 + 3 2 λ - - 1 - 3 2 = 0

Os autovalores são:

λ 1 = 2 λ 2 = - 1 + 3 2 λ 3 = - 1 - 3 2

Passo 2

Vamos analisar os autovalores. Como essa matriz 3x3 possui 3 autovalores, mas apenas um valor real, então a matriz não é diagonalizável

Resposta

A matriz não é diagonalizável

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