Enunciado

Nos Exercícios 7-8, verifique que os autovalores de A são reais e que os autovetores de autoespaços diferentes são ortogonais, de acordo com o Teorema 7.5.3.

7. A = 3 2 - 3 i 2 + 3 i - 1

Passo 1

Vamos começar pelo polinômio característico pra achar os autovalores:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 1 0 0 1 - 3 2 - 3 i 2 + 3 i - 1 = 0

det ⁡ λ 0 0 λ - 3 2 - 3 i 2 + 3 i - 1 = 0

det ⁡ λ - 3 - 2 + 3 i - 2 - 3 i λ + 1 = 0

λ - 3 λ + 1 - - 2 - 3 i - 2 + 3 i = 0

λ - 3 λ + 1 - 2 + 3 i 2 - 3 i = 0

λ - 3 λ + 1 - 2 2 - 3 2 i 2 = 0

λ - 3 λ + 1 - 2 2 + 3 2 = 0

λ 2 + λ - 3 λ - 3 - 13 = 0

λ 2 - 2 λ - 16 = 0

E agora achando os autovalores:

λ - 2 λ - 16 = 0

λ = 2 ± - 2 2 - 4 1 - 16 2

λ = 2 ± 68 2

λ = 1 ± 17

E são reais, como queríamos demonstrar.

Passo 2

Agora vamos achar os autovetores:

λ I - A x = 0

λ - 3 - 2 + 3 i - 2 - 3 i λ + 1 x 1 x 2 = 0 0

Pra λ = 1 + 17 :

1 + 17 - 3 - 2 + 3 i - 2 - 3 i 1 + 17 + 1 x 1 x 2 = 0 0

17 - 2 - 2 + 3 i - 2 - 3 i 17 + 2 x 1 x 2 = 0 0

Olhaaa... a gente não tem solução única pra esse sistema... sabe por que????? Vou te dizer, então. Pra gente achar os autovalores a gente calcula o determinante e igual a zero. E lembra que pra o sistema ter solução única o determinante tem que ser diferente de zero??? Pois é.

Vamos então chamar:

x 2 = t

E:

17 - 2 x 1 + - 2 + 3 i x 2 = 0

x 1 = - - 2 + 3 i x 2 17 - 2

Substituindo x 2 = t :

x 1 = - - 2 + 3 i t 17 - 2

O autovetor fica, então:

x = t - - 2 + 3 i 17 - 2 1

E a base do autoespaço: - - 2 + 3 i 17 - 2 1 .

Passo 3

Pra λ = 1 - 17 :

1 - 17 - 3 - 2 + 3 i - 2 - 3 i 1 - 17 + 1 x 1 x 2 = 0 0

- 17 - 2 - 2 + 3 i - 2 - 3 i - 17 + 2 x 1 x 2 = 0 0

Chamando:

x 2 = t

E:

- 17 - 2 x 1 + - 2 + 3 i x 2 = 0

x 1 = - - 2 + 3 i x 2 - 17 - 2

x 1 = - 2 + 3 i x 2 17 + 2

Substituindo x 2 = t :

x 1 = - 2 + 3 i t 17 + 2

O autovetor fica:

x = t - 2 + 3 i 17 + 2 1

E a base do autoespaço: - 2 + 3 i 17 + 2 1

Passo 4

Agora vamos fazer o produto interno com os autovetores pra saber se eles realmente são ortogonais. (só lembra que o produto interno com números complexos não é só multiplicar um pelo outro... é multiplicar pelo conjugado...)

- - 2 + 3 i 17 - 2 , 1 ⋅ - 2 + 3 i 17 + 2 , 1 = - - 2 + 3 i 17 - 2 - 2 + 3 i 17 + 2 ¯ + 1 1

= - - 2 2 - 3 2 i 2 17 2 - 2 2 + 1

= - 4 + 9 17 - 4 + 1

= - 13 13 + 1

= - 1 + 1

= 0

Que notícia maravilhosa.

Então são ortogonais, como queríamos demonstrar.

Resposta

Os autovalores são reais e os autovetores são ortogonais.

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