Enunciado

Suponha que os vetores em R 3 sejam denotados por matrizes 1   ×   3   e defina T   :   R 3   →   R 3 por:

x 1 x 2 x 3 =   x 1 x 2 x 3 ⋅ - 1 2 4 3 0 1 2 2 5

  1. Encontre uma base para o núcleo de T .
  2. Encontre uma base para a imagem de T .

Passo 1

  1. Para encontrar a base do N u c ( T ) , temos de saber que:

    Sendo um vetor qualquer v = a b c .

    T ( x ) ⋅ v = 0

    a b c ⋅ - 1 2 4 3 0 1 2 2 5 = 0

    - a + 3 b + 2 c = 0 2 a + 2 c = 0 4 a + b + 5 c = 0

    Pela segunda equação, teremos:

    a = - c

    Substituindo a na primeira equação, teremos:

    c + 3 b + 2 c = 0

    b = - c

    Portanto:

    a , b , c = c [ - 1 , - 1,1 ]

    E o núcleo, será:

    n u c T = - 1 - 1 1

    Passo 2

Para obter a imagem de T ( x ) , temos de saber que:

T ( x ) ⋅ v = v '

Assim:

a b c ⋅ - 1 2 4 3 0 1 2 2 5 = a ' b ' c '

- a + 3 b + 2 c = a ' 2 a + 2 c = b ' 4 a + b + 5 c = c '

Entretanto, sendo os vetores lineares da nossa canônica matriz são:

c 1 = - 1 ,   2 ,   4

c 2 = 3 ,   0 ,   1

c 3 = ( 2 ,   2 ,   5 )

Mas, c 1 + c 2 = c 3 logo os vetores lineares da nossa matriz formam um conjunto L.D.

Como c 1 e c 2 são L.I logo eles serão a imagem de T ( x ) , assim:

I m T = - 1 2 4 ,   3 0 1

Resposta

  1. n u c T = - 1 - 1 1
  2. I m T = - 1 2 4 ,   3 0 1
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Prove: se v 1 → , … ,v n → for uma base V e w 1 → ,… , w n → vetores em W , não necessariamente distintos, então existe alguma transformação linear T : V → W tal que: T v 1 → = w 1 → , … ,T v n → = w