Enunciado

Nos exercícios 9-12, encontre por inspeção A2, A-2 e A-k (sendo k um inteiro qualquer).

11. 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4

Passo 1

Como vimos no exemplo 1 dessa seção, quando queremos calcular potências de matrizes diagonais, essa potência pode ser aplicada diretamente nos termos da diagonal principal.

Aplicando isso na nossa matriz:

A 2 = 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4 2

A 2 = 1 2 2 0 0 0 1 3 2 0 0 0 1 4 2

A 2 = 1 4 0 0 0 1 9 0 0 0 1 16

Prontinho, agora é só fazer a mesma coisa com as outras potências:

A - 2 = 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4 - 2

A - 2 = 1 2 - 2 0 0 0 1 3 - 2 0 0 0 1 4 - 2

A - 2 = 4 0 0 0 9 0 0 0 16

E por fim:

A k = 1 2 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4 k

A k = 1 2 k 0 0 0 1 3 k 0 0 0 1 4 k

Resposta

A 2 = 1 4 0 0 0 1 9 0 0 0 1 16

A - 2 = 4 0 0 0 9 0 0 0 16

A k = 1 2 k 0 0 0 1 3 k 0 0 0 1 4 k

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A matriz A do Exercício 18.
Mostre que se p x = x 3 - ( a + b + c ) x 2 + a b + a e + b e - c d x - a ( b e - c d ) e A = a 0 0 0 b c 0 d e Então p A = 0 .
Repita as partes (a), (c), (d), (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz A = 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1
Seja A a matriz 2 0 4 1 Em cada parte, calcule a quantidade dada. A 3 A - 3 A 2 - 2 A + I p ( A ) , onde p x = x - 2 p A , onde p x = 2 x 2 + x + 1 p ( A ) , onde p x = x 3 - 2 x + 4
Prove a parte (c) do Teorema 1.4.2.