Enunciado

Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P .

A = - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23

Passo 1

E aí? Bora matar essa questão?

Bom, precisamos encontrar a matriz P que diagonaliza A e P - 1 A P , mas o que é isso?

Então, P é uma matriz ortogonal formado pelos autovetores normalizados em coluna.

Relaxa que mais para frente eu conto como determinamos o autovetor normalizado, primeiro vamos ver a matriz P :

Agora, o que é P - 1 A P , é a multiplicação das matrizes.

Foco no que eu disse ali em cima, sobre ser uma matriz ortogonal, então temos que:

P - 1 = P T

Passo 2

Precisamos dos os autovalores e autovetores:

A u t o v a l o r e s   ( λ ) :   A - λ I = 0

A u t o v e t o r e s   ( v ) :   A - λ I v = 0

Passo 3

A primeira coisa que vamos fazer é calcular o autovalor:

  A - λ I = 0

E vamos fazer parte, primeiro λ I :

λ I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Passo 4

Lembra da equação que escrevemos ali em cima?

λ I - A = 0

Agora vamos substituir os valores nela:

λ I - A = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23

Reescrevendo:

λ I - A = λ + 2 0 36 0 λ + 3 0 36 0 λ + 23

Então:

λ + 2 0 36 0 λ + 3 0 36 0 λ + 23 = 0

Passo 5

Bora fazer o determinante da nossa matriz?

λ + 2 0 36 0 λ + 3 0 36 0 λ + 23 λ + 2 0 0 λ + 3 36 0

λ + 2 ∙ λ + 3 ∙ λ + 23 + 0 + 0 - 36 ∙ 36 ∙ λ + 3 - 0 - 0 = 0

λ + 2 ∙ λ + 3 ∙ λ + 23 - 1296 ‬ ∙ λ + 3 = 0

Colando λ + 3 em evidência:

λ + 3 ∙ λ + 2 ∙ λ + 23 - 1296 ‬ = 0

λ + 3 ∙ λ 2 + 23 λ + 2 λ + 46 - 1296 ‬ = 0

λ + 3 ∙ λ 2 + 25 λ - 1250 = 0

Temos que:

λ 1 = - 3

Determinando as raízes de:

λ 2 + 25 λ - 1250 = 0

Passo 6

Lembra quando o pessoal dizia que nunca mais iria usar Bhaskara?

Não podiam estar mais errados.

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

λ = - b ± Δ 2 a

Onde:

Δ = b 2 - 4 a c

Passo 7

Calculando:

Δ = 25 2 - 4 ∙ 1 ∙ - 1250

Δ = 5625 ‬

Retornando em:

λ = - 25 ± 5625 2 ∙ 1

λ = - 25 ± 75 2

Passo 8

Agora é a vez dos autovetores:

A - λ I v = 0

Onde:

v = x y z

Logo:

A - λ I ∙ x y z = 0

Como já temos A - λ I :

λ + 2 0 36 0 λ + 3 0 36 0 λ + 23 ∙ x y z = 0

Vamos substituir os valores encontrados dos autovalores para determinar v . Molezinha, não!?

Passo 9

Para λ 1 = - 3 :

- 3 + 2 0 36 0 - 3 + 3 0 36 0 - 3 + 23 ∙ x y z = 0

- 1 0 36 0 0 0 36 0 - 20 ∙ x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- x + 36 z = 0 36 x - 20 z = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Vamos escolher a primeira:

- x + 36 z = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, que tal escolhermos o x :

x = 36 z

Primeiro vamos substituir x na equação:

36 x - 20 z = 0

36 ( 36 z ) - 20 z = 0

1296 z - 20 z = 0

1276 z = 0

z = 0

Por fim, vamos substituir o valor de y , em x :

x = 36 z

x = 36 ∙ 0

x = 0

Temos:

y = y

Escrevendo:

v = x y z

v 1 = 0 y 0

Colocando y em evidência, temos:

v 1 = y ∙ 0 1 0

Temos que o valor de autovetor é:

v 1 = 0 1 0

Passo 10

Para λ 2 = - 50 :

- 50 + 2 0 36 0 - 50 + 3 0 36 0 - 50 + 23 ∙ x y z = 0

- 48 0 36 0 - 47 0 36 0 - 27 ∙ x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

- 48 x + 36 z = 0 - 47 y = 0 36 x - 27 z = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Eu vou escolher a primeira:

- 48 x + 36 z = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, eu vou escolher o x :

- 48 x = - 36 z

x = 36 z 48

Vamos simplificar por 12 , para obter a menor fração possível:

x = 3 z 4

Temos que:

- 47 y = 0

Isolando y , temos:

y = 0

Escrevendo:

v = x y z

v 2 = 3 z 4 0 z

Colocando y em evidência, temos:

v 2 = z ∙ 3 4 0 1

Podemos, facilitar nossa vida nos próximos cálculos multiplicando por 4 para eliminar a fração:

v 2 = z ∙ 3 4 0 1 ∙ 4

v 2 = z ∙ 3 0 4

Temos que o valor de autovetor é:

v 2 = 3 0 4

Passo 11

Para λ 3 = 25 :

25 + 2 0 36 0 25 + 3 0 36 0 25 + 23 ∙ x y z = 0

27 0 36 0 28 0 36 0 48 ∙ x y z = 0

Montando em forma de sistema, temos:

27 x + 36 z = 0 28 y = 0 36 x + 48 z = 0

Agora só escolher uma equação do sistema, não importa qual. Eu vou escolher a primeira:

27 x + 36 z = 0

O objetivo é isolar uma das incógnitas, eu vou escolher o x :

27 x = - 36 z

x = - 36 z 27

Vamos simplificar por 9 , para obter a menor fração possível:

x = - 4 z 3

Temos que:

28 y = 0

Isolando y , temos:

y = 0

Escrevendo:

v = x y z

v 3 = - 4 z 3 0 z

Colocando y em evidência, temos:

v 3 = z ∙ - 4 3 0 1

Podemos, facilitar nossa vida nos próximos cálculos multiplicando por 3 para eliminar a fração:

v 3 = z ∙ - 4 3 0 1 ∙ 3

v 3 = z ∙ - 4 0 3

Temos que o valor de autovetor é:

v 3 = - 4 0 3

Passo 12

Estamos mandando bem!!! Bora normalizar os autovetores:

u 1 = v 1 v 1

u 1 = 1 0 2 + 1 2 + 0 2 ∙ 0 1 0

u 1 = 1 1 ∙ 0 1 0

u 1 = 1 1 ∙ 0 1 0

u 1 = 0 1 0

u 2 = v 2 v 2

u 2 = 1 3 2 + 0 + 4 2 ∙ 3 0 4

u 2 = 1 9 + 16 ∙ 3 0 4

u 2 = 1 25 ∙ 3 0 4

u 2 = 1 5 ∙ 3 0 4

u 2 = 3 5 0 4 5

u 3 = v 3 v 3

u 3 = 1 3 2 + 0 + - 4 2 ∙ - 4 0 3

u 3 = 1 9 + 16 ∙ - 4 0 3

u 3 = 1 25 ∙ - 4 0 3

u 3 = 1 5 ∙ - 4 0 3

u 3 = - 4 5 0 3 5

Passo 13

Não desiste de mim, que falta pouco!!!

Bora escrever, P !?

Para escrever P , lembra o que eu disse lá no Passo 1? Que colocamos os autovetores normalizados que diagonaliza A ortogonalmente em colunas, então:

P = 0 3 5 - 4 5 1 0 0 0 4 5 3 5

Passo 14

Estamos quase no fim, eu juro!!!

Agora vamos determinar P - 1 , lembra o que eu disse lá no Passo 1?

Relaxa que eu te recordo,   P é uma matriz ortogonal, então:

P - 1 = P T

P T = 0 1 0 3 5 0 4 5 - 4 5 0 3 5

Passo 15

Último passo antes da tão sonhada P T A P !!!!

Só precisamos fazer substituir:

P - 1 A P = P T A P

P T A P = 0 1 0 3 5 0 4 5 - 4 5 0 3 5 ∙ - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23 ∙ 0 3 5 - 4 5 1 0 0 0 4 5 3 5

Passo 16

Bora fazer com a nossa multiplicação!!!

P T A P = 0 1 0 3 5 0 4 5 - 4 5 0 3 5 ∙ - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23 ∙ 0 3 5 - 4 5 1 0 0 0 4 5 3 5

P T A P = 0 - 3 0 - 6 5 - 144 5 0 - 108 5 - 92 5 8 5 - 108 5 0 144 5 - 69 5 ∙ 0 3 5 - 4 5 1 0 0 0 4 5 3 5

P T A P = 0 - 3 0 - 150 5 0 - 200 5 - 10 0 5 0 75 5 ∙ 0 3 5 - 4 5 1 0 0 0 4 5 3 5

P T A P = 0 - 3 0 - 30 0 - 40 - 20 0 15 ∙ 0 3 5 - 4 5 1 0 0 0 4 5 3 5

P T A P = - 3 0 0 0 - 90 5 - 160 5 12 0 5 - 120 5 0 - 60 5 + 60 5 80 5 + 45 5

P T A P = - 3 0 0 0 - 25 0 5 0 0 0 125 5

P T A P = - 3 0 0 0 - 50 0 0 0 25

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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