Enunciado

1. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz simétrica dada e depois, por inspeção, determine as dimensões dos autoespaços

(a) 1 2 2 4 (b)   1 - 4 2 - 4 1 - 2 2 - 2 - 2

(c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (d) 4 2 2 2 4 2 2 2 4

(e) 4 4 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (f) 2 - 1 0 0 - 1 2 0 0 0 0 2 - 1 0 0 - 1 2

Passo 1

(a) Para achar a equação característica fazermos:

λ I - A = 0

Onde:

I = 1 0 0 1

Passo 2

Primeiro vamos fazer:

λ I = 1 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 λ

Passo 3

Retornando para:

λ I - A = 0

Substituindo os valores:

λ I - A = λ 0 0 λ - 1 2 2 4

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 1 - 2 - 2 λ - 4

Então, temos:

λ - 1 - 2 - 2 λ - 4 = 0

Calculando o determinante, lembrando que para uma matriz 2 × 2 , multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

λ - 1 ∙ λ - 4 - 4 = 0

λ 2 - 4 λ - 1 λ + 4 - 4 = 0

λ 2 - 5 λ = 0

Passo 4

Determinando os autoespaços:

λ 2 - 5 λ = 0

λ = - b ± Δ 2 a

Onde:

Δ = b 2 - 4 a c

Passo 5

Calculando:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = ( - 5 ) 2 - 4 ∙ 1 ∙ 0

Δ = 25

Retornando em:

λ = - - 5 ± 25 2 ∙ 1

λ = 5 ± 5 2

Resposta

E q .   c a r a c t e r í s t i c a :   λ 2 - 5 λ = 0

O s     a u t o e s p a ç o s   λ = 5   e   λ = 0   s ã o   u n i d i m e n s i o n a i s

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