Enunciado

1. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz simétrica dada e depois, por inspeção, determine as dimensões dos autoespaços

(a) 1 2 2 4 (b)   1 - 4 2 - 4 1 - 2 2 - 2 - 2

(c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (d) 4 2 2 2 4 2 2 2 4

(e) 4 4 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (f) 2 - 1 0 0 - 1 2 0 0 0 0 2 - 1 0 0 - 1 2

Passo 1

(d) Para achar a equação característica fazermos:

λ I - A = 0

Onde:

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 2

Primeiro vamos fazer:

λ I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ∙ λ

λ I = 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 0 ∙ λ 1 ∙ λ

λ I = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Passo 3

Retornando para:

λ I - A = 0

Substituindo os valores:

λ I - A = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 4 2 2 2 4 2 2 2 4

Reescrevendo:

λ I - A = λ - 4 - 2 - 2 - 2 λ - 4 - 2 - 2 - 2 λ - 4

Então, temos:

λ - 4 - 2 - 2 - 2 λ - 4 - 2 - 2 - 2 λ - 4 = 0

Calculando o determinante, lembrando que para uma matriz 3 × 3 , primeiro repetimos as duas primeiras colunas multiplicamos os elementos da diagonal principal e suas paralelas, e subtraímos do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária e suas parelas.

λ - 4 - 2 - 2 - 2 λ - 4 - 2 - 2 - 2 λ - 4 λ - 4 - 2 - 2 λ - 4 - 2 - 2 =

λ - 4 ∙ λ - 4 ∙ λ - 4 - 8 - 8 - 4 ∙ λ - 4 - 4 ∙ λ - 4 - 4 ∙ λ - 4 = 0

λ - 4 ∙ λ 2 - 8 λ + 16 - 16 - 4 λ + 16 - 4 λ + 16 - 4 λ + 16 = 0

λ 3 - 8 λ 2 + 16 λ - 4 λ 2 + 32 λ - 64 - 16 - 4 λ + 16 - 4 λ + 16 - 4 λ + 16 = 0

Reorganizando:

λ 3 - 8 λ 2 - 4 λ 2 + 16 λ + 32 λ - 4 λ - 4 λ - 4 λ - 64 - 16 + 16 + 16 + 16 = 0

λ 3 - 12 λ 2 + 36 λ - 32 = 0

Passo 4

Determinando os autoespaços:

λ 3 - 12 λ 2 + 36 λ - 32 = 0

Utilizando um software, temos:

λ 1 = 2 ,   λ 2 = 2   e   λ 3 = 8

Resposta

E q .   c a r a c t e r í s t i c a :   λ 3 - 3 λ 2 = 0

O s   a u t o e s p a ç o s   λ = 8   é   u n i d i m e n s i o n a l ,   e   λ = 2   é   b i d i m e n s i o n a l

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis? A = 1 1 0 a B = 1 a 0 1
Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis. 4 )T : R 3 → R 3 : T x , y , z = ( x + y , x - y + 2 z ,2 x + y - z )
Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis. 3 )T : R 2 → R 2 : T x , y = ( x + y , 2 x + y )
Dizemos que uma matriz A n × n é diagonalizável se seu operador associado T A : R n → R n for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n autovetores L I . Baseado nisto,
Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis. 2 )T : R 2 → R 2 : T x , y = ( 2 y ,x )