Enunciado

Na figura 8.21, o arco D C é parabólico e o segmento A B está dividido em 8 partes iguais. Sabendo que d = 10   m e A B = 80 m , determinar h 1   e   h 2 .

Passo 1

E aí, tudo joia?

Aqui vamos fazer o seguinte pra começar: vamos considerar que a origem do sistema de coordenadas é o ponto A .

Daí, como o segmento A B = 80 , temos que:

A 0,0   e   B ( 80,0 )

Passo 2

Você pode ver também que, nesse caso, a reta diretriz da parábola é y = 0 . E como d = 10 , o vértice é V ( 40 ,   10 ) (são 8 partes iguais, então cada pedacinho vale 10 ).

Ok, já temos o vértice e a diretriz. O foco fica 10 unidades acima do vértice, então:

F ( 40,20 )

Beleza, daqui a gente consegue escrever a equação da parábola!

Passo 3

Montando a equação:

x - h 2 = 2 p ( y - k )

x - 40 2 = 40 ( y - 10 )

x 2 - 80 x + 1600 = 40 y - 400

x 2 - 80 x - 40 y + 2000 = 0

Belezaaa! Essa é a equação da parábola!

Pra descobrir onde h 1   e   h 2 interceptam a parábola, é só a gente fazer o valor dela nos pontos do eixo x .

Passo 4

Veja que h 1 está na abcissa x = 2 0 e h 2 está na abcissa x = 70 .

Vamos ver o ponto que essas abcissas representam na parábola:

x = 20 → 20 2 - 80 20 - 40 y + 2000 = 0

- 40 y = - 800

y = 20

Temos o ponto ( 20,20 ) pertencendo à parábola então.

Vamos ver em h 2 , onde x = 70 :

70 2 - 80 70 - 40 y + 2000 = 0

- 40 y = - 1300

y = 130 4 = 65 2

Temos um outro ponto da parábola então que é:

70 , 65 2

Passo 5

E agora, por fim, vamos calcular a medida de h 1 e h 2 . Já temos os pontos das extremidades, então para calcular o comprimento é só calcular a distância entre os pontos das extremidades de cada um...

Em h 1 :

h 1 = 20 - 20 2 + 0 - 20 2 = 400 = 20

E h 2 :

h 2 = 70 - 70 2 + 0 - 65 2 2 = 65 2 = 32,5

Que na realidade são os mesmos valores das alturas (valores de y ) que a gente achou, então basicamente a gente precisava ver o valor dos pontos na parábola!

E acabamos😊

Resposta

h 1 = 20 ,       h 2 = 32,5

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Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. P : y 2 = 4 x . P : y 2 + 8 x = 0 . P : x 2 + 6 y = 0 . P : 5 y 2 = 8 x . P : 5 x 2 = 8 y . P : 5 x 2 = 16 y .
Em cada um dos problemas 1 a 18, estabelecer a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:3) vértice: V ( 0 ,0 ) ; foco: F ( 0 ,- 3 )
Em cada um dos problemas 1 a 18, estabelecer a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:5) foco: F ( 0 ,- 1 ) ; d : y - 1 = 0
Em cada um dos problemas 1 a 18, estabelecer a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:1) vértice: V ( 0 ,0 ) ; diretriz: d : y = - 2
Em cada um dos problemas 1 a 18, estabelecer a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:2) foco: F ( 2 ,0 ) ; diretriz: d : x + 2 = 0