Enunciado

3. A figura dada mostra uma rede viária de ruas de mão única com fluxo de tráfego nos sentidos indicados. As taxas de fluxo ao longo das ruas são medidas pelo número de veículos por hora.

(a) Monte um sistema linear cuja solução forneça as taxas de fluxo desconhecidas.

(b) Resolva o sitema para as taxas de fluxo desconhecidas.

(c) Se o fluxo ao longo da rua A para B precisar ser reduzido em virtude de uma obra, qual será o fluxo mínimo necessário para manter o tráfego fluindo em todas as ruas?.

Passo 1

(a)

Como o exerciocio já adotou o sentido dos fluxos, vamo montar as equações para cada um dos 4 nós:

Nó de cima da esquerda:

x 2 + 300 = x 3 + 4 00

x 2 - x 3 = 100

Nó de cima da direita:

x 3 + 7 50 = x 4 + 250

x 3 - x 4 = - 5 0 0

Nó de baixo da esquerda:

x 1 + 100 = x 2 + 400

x 1 - x 2 = 300

Nó de baixo da direita:

x 4 + 200 = x 1 + 3 00

- x 1 + x 4 = 100

Essas equações formam o sistema abaixo:

x 2 - x 3 = 100 x 3 - x 4 = - 500 x 1 - x 2 = 300 - x 1 + x 4 = 100

Escrevendo na forma matricial:

0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 1 - 1 0 0 - 1 0 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 100 - 500 300 100

Escrevendo a matriz estendida:

0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 1 - 1 0 0 - 1 0 0 1 100 - 500 300 100

Passo 2

(b)

Para resolver o sistema precisamos escalonar essa matriz.

Trocando a primeira com a terceira linha:

1 - 1 0 0 0 0 1 - 1 0 1 - 1 0 - 1 0 0 1 300 - 500 100 100

Trocando a terceira com a segunda linha:

1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 - 1 0 0 1 300 100 - 500 100

Somando a primeira linha na quarta:

1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 - 1 0 1 300 100 - 500 4 00

Somando a segunda linha na quarta:

1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 - 1 1 300 100 - 500 5 00

Somando a terceira linha na quarta:

1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 300 100 - 500 0

Agora, com o sistema escalonado, podemos reescrever na forma de equações e ir resolvendo de baixo para cima:

x 1 - x 2 = 300 x 2 - x 3 = 100 x 3 - x 4 = - 500

Vamos começar definindo a variável livre:

x 4 = a

Dessa forma:

x 3 - x 4 = - 500

x 3 - a = - 500

x 3 = a - 500

Indo para a segunda equação:

x 2 - x 3 = 100

x 2 - a - 500 = 100

x 2 = a - 4 00

E por fim, a primeira equação:

x 1 - x 2 = 300

x 1 - a - 400 = 300

x 1 = a - 100

Então a solução do sistema é a seguinte:

x 1 x 2 x 3 x 4 = a - 100 a - 4 00 a - 5 00 a

Onde a ≥ 500 , pois se a fosse menor que 500 existiria um fluxo negativo, o que não pode acontecer, pois as ruas são de mão unica.

Passo 3

(c)

Sabemos que o fluxo de A para B é representado por

x 4 = a

E sabemos que o valor mínimo que ele pode assumir é 500 pois se for menor que isso existira fluxo negativo em alguma outra rua.

x 4 = 500

Resposta

(a)

x 2 - x 3 = 100 x 3 - x 4 = - 500 x 1 - x 2 = 300 - x 1 + x 4 = 100

(b)

x 1 x 2 x 3 x 4 = a - 100 a - 400 a - 500 a

(c)

x 4 = 500

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Escreva um sistema de equações lineares constituído de três equações em três incógnitas com:Sistema com uma única solução
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear 2 x 1 - 4 x 2 - x 3 = 1 x 1 - 3 x 2 + x 3 = 1 3 x 1 - 5 x 2 - 3 x 3 = 1
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + x 3 = 1 - x 1 - 5 x 2 - 5 x 3 = 5
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + x 3 = 1 - x 1 - 5 x 2 - 5 x 3 = 5
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + x 3 = 1 - x 1 - 5 x 2 - 5 x 3 = 5