Enunciado

17. (a) Encontre uma equação que represente a família de todos os polinômios de grau dois que passam pelos pontos (0,1) e (1,2)

(b) Esboce quatro curvas da família obtida a mão ou co a ajuda de uma ferramenta gráfica.

Passo 1

Precisamos de três pontos para obtermos um polinômio de grau dois, então vamos definir um ponto arbitrário:

k ,   l

Com esses três ponto teremos essas três equações:

Do ponto 0 , 1 :

a 0 + a 1 ⋅ 0 + a 2 ⋅ 0 2 = 1

a o = 1

Do ponto 1 , 2 :

a 0 + a 1 ⋅ 1 + a 2 ⋅ 1 2 = 2

Como a 0 = 1

1 + a 1 + a 2 = 2

a 1 + a 2 = 1

Do ponto k , l :

a 0 + a 1 ⋅ k + a 2 ⋅ k 2 = l

Como a 0 = 1

k ⋅ a 1 + k 2 ⋅ a 2 = l - 1

O sistema formado por essas equações é o seguinte:

a 1 + a 2 = 1 k ⋅ a 1 + k 2 ⋅ a 2 = l - 1

Escrevendo na forma matricial:

1 1 k k 2 ⋅ a 1 a 2 = 1 l - 1

E escrevendo a matriz estendida:

1 1 k k 2 1 l - 1

Passo 2

Vamos escalonar a matriz para encontrar a solução do sistema.

Somando - k vez a primeira equação na segunda:

1 1 0 k 2 - k 1 l - k - 1

Dividindo a segunda equação por x 2 - x :

1 1 0 1 1 l - k - 1 k 2 - k

Somando - 1 vez a segunda equação na primeira:

1 0 0 1 1 - l - k - 1 k 2 - k l - k - 1 k 2 - k

1 0 0 1 k 2 - l + 1 k 2 - k l - k - 1 k 2 - k

Ou seja, a solução do sistema é:

a o a 1 a 2 = 1 k 2 - l + 1 k 2 - k l - k - 1 k 2 - k

A equação fica:

y = l - k - 1 k 2 - k x 2 + k 2 - l + 1 k 2 - k x + 1

Passo 3

(b)

Vamos pegar 4 valores para o ponto k ,   l e desenhar o gráfico que obtemos da equação:

Para k ,   l = - 1 , - 1 :

y = - 1 - - 1 - 1 - 1 2 - - 1 x 2 + - 1 2 - - 1 + 1 - 1 2 - - 1 x + 1

y = - 1 2 x 2 + 3 2 x + 1

Fazendo o desenho desse gráfico vamos obter:

Para k ,   l = 2 ,   2 :

y = 2 - 2 - 1 2 2 - 2 x 2 + 2 2 - 2 + 1 2 2 - 2 x + 1

y = - 1 2 x 2 + 3 2 x + 1

Essa é a mesma equação que encontramos anteriormente. Ou seja o gráfico é igual:

Para k ,   l = 2 ,   1 :

y = 1 - 2 - 1 2 2 - 2 x 2 + 2 2 - 1 + 1 2 2 - 2 x + 1

y = - 1 x 2 + 2 x + 1

Fazendo o desenho desse gráfico vamos obter:

Para k ,   l = - 1 ,   1 :

y = 1 - - 1 - 1 - 1 2 - - 1 x 2 + - 1 2 - 1 + 1 - 1 2 - - 1 x + 1

y = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1

Fazendo o desenho desse gráfico vamos obter:

Resposta

y = l - k - 1 k 2 - k x 2 + k 2 - l + 1 k 2 - k x + 1

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